Первая, вполне очевидная связь между образами сна и 1858 годом отыскивается без труда. Именно в это время была открыта так называемая лента Мёбиуса – простейшая форма односторонней поверхности, играющая очень важную роль в разделе математики под названием топология. Собственно, и сам этот термин – топология – ввел в научный обиход германский математик Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), первым обнаруживший и описавший одностороннюю поверхность. Однако в итоге вышло так, что имя свое эта примечательная фигура получила в честь другого немецкого ученого, астронома и математика Августа Фердинанда Мебиуса (1790-1868), сделавшего то же самое открытие одновременно и независимо от Листинга.

При всяком описании выдающихся свойств ленты Мебиуса обычно принято подчеркивать, что этот объект всякий интересующийся может очень легко изготовить и повертеть-пощупать самостоятельно. Данный факт действительно очень важен, поскольку науке топологии очень часто приходится иметь дело с фигурами и формами, которые в привычном человеку трехмерном пространстве сконструировать в принципе невозможно. Ленту же Мебиуса изготовить проще простого – надо взять достаточно длинную полосу бумаги и склеить противоположные концы с полупереворотом, т.е. повернув один конец на 180 градусов.

Лента Мебиуса

После чего сразу можно приступать и к первичному ознакомлению с причудливыми свойствами получившегося объекта. Самое главное, как уже сказано – это односторонняя поверхность данной фигуры. Хотя изначально у листа бумаги было две поверхности, несложно убедиться, что лента Мебиуса имеет одну бесконечную поверхность. Для этого достаточно взять карандаш и начать вести линию посередине ленты. Эта линия на своем пути пройдет по обеим сторонам листа и вернется в точку начала. Иными словами, если представить себе муравья, миром обитания которого является свернутая кольцом лента Мебиуса, то в сравнении с другим муравьем, живущим, скажем, на сфере, для него нет никакой разницы между внешней и внутренней поверхностью. Ибо здесь они гладко переходят одна в другую, так что исчезает само различие между понятиями «внутри» и «снаружи» кольца.

Давно подмечено, что лента Мебиуса дает чрезвычайно интересную и наглядную аналогию для трехмерной односторонней поверхности – как возможной модели реальной вселенной. Правда, у ленты Мебиуса есть несколько специфических особенностей, совершенно не свойственных тому пространству, что окружает человека. Прежде всего, бесконечным и замкнутым у ленты является лишь одно выделенное направление, а в перпендикулярном ему направлении у листа есть края. Точнее, один край с двух сторон. Эта проблема, впрочем, преодолевается без труда, поскольку еще в 1882 году другой германский математик, Феликс Клейн, придумал и описал замкнутую одностороннюю фигуру, получившую название «бутылка Клейна» (по форме очевидно схожую с гигантским песчаным червем-уроборосом из сна про геометрию). Получается этот объект путем склеивания краев у двух лент Мебиуса. Правда с двумерным листами такая операция возможна лишь при условии дополнительных разрезов и склеек. Однако в случае трехмерной поверхности те же самые по сути манипуляции уже возможны гладко и без швов.

Бутылка Клейна

*

Другая, более серьезная особенность, сильно отличающая лист Мебиуса и другие односторонние поверхности от известной человеку вселенной – это так называемая неориентируемость. Говоря упрощенно, под ориентируемостью в топологии принято называть свойство, позволяющее разделять идентичные в остальном объекты на «правые» и «левые». Если же поверхность неориентируема, то принадлежащий ей объект после одного оборота по петле возвращается в зеркально отображенном виде. На прозрачной ленте Мебиуса это легко увидеть, когда буквы латинского алфавита «L» и «R» после однократного обхода цикла превращаются в буквы кириллицы «Г» и «Я».

Все экспериментальные данные, известные человеку об окружающем его мире, свидетельствуют в пользу того, что пространство вселенной всюду является ориентируемым. То есть, сколь бы далеко левша не забредал в своих блужданиях по космосу, он все равно вернется левшой, а не правшой, и записи его будут состоять из прежних букв, а не зеркально отраженных. Из чего естественным образом следует, что моделировать наш мир в виде «обычной» трехмерной бутылки Клейна не представляется возможным.

Однако богатство свойств ленты Мебиуса далеко не исчерпывается одной лишь бесконечностью односторонней поверхности. Если, скажем, эту ленту аккуратно разрезать вдоль осевой линии, то в результате получится не два кольца, а опять одно, но узкое и в два раза большей длины. Если же другой лист Мебиуса разрезать вдоль не на две, а на три части, отступив от каждого из краев на треть ширины ленты, то получится такая фигура: еще один лист Мебиуса шириной в треть от первоначального, а в него продета длинная и тонкая лента, дважды перекрученная вдоль своей оси.

Теперь «маленького Мебиуса» можно как-то пометить, например закрасив его поверхность, а длинную ленту аккуратно уложить с обеих сторон поверх закрашенной. В результате получится лист Мебиуса тройной толщины и с новым любопытным свойством. Две крайние незакрашенные части «сэндвича», хотя и сделаны из одной длинной ленты, тем не менее, нигде не смыкаются друг с другом, а просто лежат вдоль сторон третьей, закрашенной ленты. Впрочем, о каких сторонах идет речь? Ведь вспомним, центральная часть — это же односторонняя поверхность. Да и крайние, раз они повторяют ее форму, тоже стали похожи на два листа Мебиуса, которые обрели самостоятельность, обвившись вокруг закрашенной прослойки.

**

С практической точки зрения описанная конструкция интересна тем, что обеспечивает весьма оригинальное и красивое решение для серьезной проблемы, с которой регулярно приходится сталкиваться разработчикам электронных схем. Речь идет о схемах, предназначенных для работы с переменными токами или импульсными сигналами высокой частоты, как, например, в радарах и системах высокочастотной связи. В подобных условиях на работу любых электронных устройств в значительной мере влияют нежелательные воздействия со стороны неизвестных (то есть не поддающихся расчетам) реактивных сопротивлений в самих компонентах схемы или нежелательные эффекты связи (емкостной или индуктивной) между отдельными компонентами.

В идеальных условиях всякий резистор схемы должен обеспечивать только сопротивление (именуемое активным), конденсатор – только емкость, а катушка дросселя – только индуктивность. Но в реальном физическом мире каждый предмет, включая и радиодетали, имеет конкретную форму и каким-то образом располагается в пространстве. Поэтому всякая радиодеталь ведет себя и как маленький конденсатор (обладая собственной электрической емкостью и, значит, оказывая переменному току емкостное сопротивление), и как крохотный дроссель – порождая сопротивление индуктивное.

Оба этих паразитных сопротивления объединяют общим термином «реактивность», а для сокращения эффектов реактивного сопротивления придумываются самые разные трюки и ухищрения. В конечном счете, правда, все они так или иначе сводятся к способу, придуманному шотландским физиком Максвеллом еще на заре электротехники. Джеймс Клерк Максвелл, глубоко постигший особенности взаимодействия электрических и магнитных полей при создании своей теории электромагнетизма, в свое время отметил, что резисторы можно симметрично сгибать в форме шпильки для волос, чтобы электрический ток шел по проводнику в двух противоположных направлениях, уравновешивая и сводя на нет емкостное или индуктивное сопротивление.

Разнообразные решения, придуманные впоследствии на основе метода Максвелла, работали сравнительно неплохо. Однако к 1960-м годам, с появлением космической техники и мощного высокочастотного оборудования, имевшихся технологий для гашения реактивности стало явно недостаточно. В американском ядерном центре Sandia Labs по заказу агентства НАСА над улучшенным решением этой проблемы работал физик Ричард Л. Дэвис. И вот как-то однажды, по его собственным воспоминаниям, Дэвис решил дать полную волю фантазии и отпустил свой ум поблуждать в свободном поиске ответа. Вот тут-то он и вспомнил о ленте Мебиуса – поначалу, как о старом математического фокусе для развлечения публики в салонах и компаниях. Но затем необычные топологические свойства фигуры неожиданно перемешались с электроникой, и в итоге Дэвис получил то, что искал – конструкцию нереактивного «резистора Мебиуса».[1]

Резистор Мебиуса

***

Дэвис изготовил ленту Мебиуса из гибкой ленты пластмассового изолятора, с двух сторон которой была приклеена металлическая фольга, служащая в качестве электрического сопротивления. Провода, подводящие ток к фольге, он припаял в точках, находящихся строго друг против друга с противоположных сторон ленты. Поэтому, когда через эти провода пошли электрические импульсы, ток разделился на две ветви, которые потекли через ленту фольги в обоих направлениях, по сути, проходя через проводник дважды. Благодаря этому вся паразитная реактивность стала взаимно гаситься практически идеально.

Попутно в ходе экспериментов были выявлены и другие примечательные особенности резистора Мебиуса. В частности, то, что это устройство электромагнитно никак не влияет на другие металлические объекты, компоненты схемы или на себя самого, даже если форма готового резистора изменяется (например, при компактной намотке ленты на сердечник). Кроме того, Ричард Дэвис обнаружил еще одно удивительное — и весьма полезное на практике — свойство резистора Мебиуса. Если к сторонам одной ленты изолятора приклеен не один, а два комплекта резистивных лент из фольги, расположенных на расстоянии около 1,5 мм друг от друга, то получались два полноценных резистора Мебиуса, электромагнитно никак не влияющих друг на друга.

Эти резисторы оказалось возможным затем соединять последовательно и параллельно — как обычные элементы электронных схем. Величина результирующего сопротивления менялась в соответствии в обычными эффектами последовательного-параллельного соединения, без изменения константы времени реакции, полученной для единственного резистора. Результат, с одной стороны, очень приятный, поскольку позволяет компоновать резисторы с любой нужной величиной активного сопротивления. С другой же стороны, данный результат крайне озадачивает своей физикой. Потому что импульсы тока одновременно проходят через проводник в противоположных направлениях, а два комплекта невзаимодействующих резисторов на одной ленте Мебиуса – это, если присмотреться внимательней, на самом деле одна и та же длинная лента.

По признанию самого изобретателя, в 1966 году оформившего на резистор Мебиуса патент США [2], он и сам толком не смог понять, как и почему работает это устройство. Быть может, сказал однажды Ричард Дэвис в одном из интервью, что-то содержательное на данный счет мог бы поведать нам Максвелл, но он, увы, давно уже мертв… А еще может быть и так (если верить сну «про геометрию космоса»), что загадки резистора Мебиуса каким-то существенным образом связаны с квантовым парадоксом Эйнштейна-Подольского-Розена или кратко ЭПР – еще более озадачивающей загадкой современной физики.

[1] “Making Resistors With Math”, Time, September 25, 1964
[2] Richard L. Davis, “Non-Inductive Electrical Resistor”, US Patent # 3 267 406, August 16, 1966