Физика конвективных ячеек дает наглядные иллюстрации тому, каким образом в реальной жизни могут находить воплощение абстрактные геометрические идеи о топологических конструкциях пространства. Совсем несложные, в общем-то, опыты с ячейками Бенара, к примеру, демонстрируют намного больше, чем механизм самоформирования регулярной решетки из шестиугольников в тонком слое масла на сковороде. Похожие по сути процессы наблюдаются и в космических масштабах – скажем, в конвективном слое и фотосфере Солнца. Или даже в характерной ячеистой структуре сетки из галактических суперкластеров.

Согласно принятой в астрономии терминологии, крупные космические скопления принято именовать группами (до 50 галактик), кластерами (до 1000 галактик) и суперкластерами (образование из нескольких кластеров, групп и изолированных галактик). Сам факт существования суперкластеров уже свидетельствует, что галактики во вселенной распределены крайне неравномерно. Однако и суперкластеры, в свою очередь, формируют еще более крупные структуры, носящие название «нити» (filaments), «стены» или «листы», которые могут иметь протяженность от сотен миллионов до миллиарда световых лет. Такого рода структуры характерной сеткой накрывают порядка 5% наблюдаемой вселенной. В гигантских промежутках между суперкластерами и нитями находятся так называемые войды или пустоты, в которых галактики почти не встречаются. Суперкластерные образования настолько велики в своих размерах, что уже не являются гравитационно связанными и, следовательно, участвуют в хаббловском расширении вселенной. Предполагается, что наблюдения за этими структурами должны поведать нечто существенное относительно процессов формирования галактик на ранних стадиях вселенной.

Вид вселенной в миллиарде световых лет от Земли

Форма ячеек, образующих регулярные сетчатые структуры при физических экспериментах с процессами самоорганизации, зависит от характера кривизны поверхности. На плоскости или поверхности цилиндра, который во многом идентичен плоскости, такие ячейки могут иметь форму правильных треугольников, квадратов, шестиугольников. Природа, впрочем, как правило выбирает шестиугольники, поскольку они больше всего похожи на энергетически самую выгодную форму – круг. Однако, когда речь заходит о поверхности сферы, то тут картина выглядит иначе, поскольку правильные шестиугольники для замощения уже не годятся. Чтобы понять, чем мостят поверхность шара, надо вспомнить пять правильных платоновых многогранников и образующие их грани – тетраэдр, октаэдр и икосаэдр (треугольные грани), куб (квадраты) и додекаэдр (пятиугольники). Каждая из этих фигур раздувается до шара, сохраняющего разбиение на правильные сегменты, а без надувания самый большой объем при вписывании тел в сферу одного радиуса имеет додекаэдр. Отсюда можно понять, что энергетически наиболее предпочтительными для замощения поверхности шара выглядят правильные пятиугольники.

Фуллерен и классический футбольный мяч

Однако природа, как выяснилось в 1985 году вместе с открытием сферических молекул-фуллеренов, предпочитает энергетически еще более выгодную форму, совмещающую в себе два платоновых тела – додекаэдр и икосаэдр. В геометрии эту фигуру именуют усеченным икосаэдром, поскольку ее проще всего получить путем аккуратного отсечения всех вершин у икосаэдра таким образом, чтобы все ребра многогранника сохранили равную длину. В результате же получается конфигурация, идентичная классическому футбольному мячу…

*

В связи с этим можно вспомнить лето 2006 года, для многих оставшееся в памяти благодаря чемпионату мира по футболу в Германии. Обычный для таких мероприятий накал страстей, драматичный финальный матч между командами Франции и Италии, роковой удар Зидана головой – но не по мячу, а в грудь оскорбившего его соперника… Это, наверняка, запомнили почти все, даже люди, крайне далекие от футбола. Трудно сказать, насколько подобный фон хорош для дела популяризации науки в массах, однако не подлежит сомнению, что любовь народа к футболу пытаются, по меньшей мере, использовать и в такого рода целях.

Например, явно неслучайно в летнем номере журнала American Scientist за тот же год была опубликована статья «Топология и комбинаторика футбольных мячей»[1], подготовленная германским математиком Дитером Кочиком из Мюнхенского университета. В качестве основы для своего исследования Кочик выбрал самую известную на сегодня конструкцию, утвердившуюся примерно с 1970 года. Классический футбольный мяч шьют или склеивают из 32 кусков материала – 12 из них имеют форму правильного пятиугольника, еще 20 – правильные шестиугольники. Эти куски расположены так, что каждый пятиугольник окружен шестиугольниками. То есть речь идет о той самой геометрической фигуре, которая при плоских гранях называется усеченным икосаэдром. Собственно статья немецкого математика анализирует, каким образом эта классическая 32-кусочная конструкция может быть модифицирована, чтобы получать всевозможные способы регулярного замощения сферы многоугольниками для создания разнообразных форм футбольных мячей.

Однако в контексте Картезианских игр куда больший интерес представляет иллюстративный материал, создававшийся при подготовке работы Кочика к публикации. Такого рода картинки уже давно делаются с помощью компьютера, поэтому редакция журнала обратилась за помощью к Майклу Тротту, известному эксперту по работе с графикой научного пакета программ Mathematica. Экспериментируя с программой морфинга, математически преобразующей футбольный мяч в самые разные формы, Тротт вышел далеко за рамки исходной темы статьи. Получившиеся при этом анимационные видеоролики оказались столь эффектными, что около полудюжины их было выложено в интернет в качестве работы, имеющей самостоятельную эстетическую и научную ценность. Два из этих клипов, в частности, могут иметь самое непосредственное отношение к форме вселенной, поэтому имеет смысл рассмотреть их поподробнее.[2]

Клип первый – это гладкий морфинг, превращающий тор в двухслойный футбольный мяч. Анимация показывает, как тор непрерывно деформируется в два концентрически совмещенных мяча одинакового размера. Важно подчеркнуть, что при этом преобразовании не происходит никаких разрывов поверхности. Поскольку суть компьютерного преобразования сводится к манипуляциям с расположением узлов графа, Тротт нанес на тор сетку из пятиугольников и шестиугольников – деформированных, естественно, но с характерным для футбольного мяча взаиморасположением клеток и в двойном их количестве. Клетки внешней и внутренней сферы в итоге трансформации не совпадают, а сдвинуты по типу шахматной доски. Поверхности мячей при этом оказываются соединены друг с другом в четырех точках – у вершин четырех из 12 пятиугольников. В технических терминах топологии данная анимация показывает гладкую гомотопию между двумя отображениями графа футбольного мяча – на сферу и на тор.

Морфинг тора в двухслойный мяч

**

Все, кто хотя бы в самых общих чертах усвоил базовые принципы топологии, сразу усмотрят в этом трюке с морфингом какой-то подвох. Ведь тор – это же цельная фигура, не распадающаяся на части. Иначе говоря, из него никак нельзя сделать две сферы, не нарушив при этом строгих топологических правил, запрещающих разрезы и склейки. Хитрость тут действительно имеется, ибо преобразования, именуемые гомотопическими, допускают стягивание замкнутых линий на поверхности в точку. Чтобы наглядно представить топологический эффект такой операции, достаточно рассмотреть все тот же тор, который в противоположных местах кольца перехватывают по окружности трубы бечевками, после чего начинают эти петли стягивать. Понятно, что тор превратится в две колбаски, каждую из которых можно надуть до сферы. Иначе говоря, продемонстрирована гомотопия тора и двух сфер, соединенных друг с другом в двух точках. В данном примере сферы соединены последовательно, а не концентрически, однако уже понятно, видимо, что с помощью большего количества манипуляций и стяжек можно вложить мячи друг в друга.

Такого рода преобразования чрезвычайно важны в топологии, потому что, с одной стороны, они являются гладкими и непрерывными с точки зрения алгебры, а с другой – повсеместно встречаются в жизни. Наиболее очевидный тому пример – обычный воздушный шарик, который в своем первоначальном виде является скорее плоским лоскутом резины, чем сферой. Раздувание этого лоскута, свернутого, грубо говоря, в кулек, и перетяжка отверстия ниткой топологически стягивают петлю в точку, превращая плоский лоскут в шарообразное тело. В строгом физическом смысле отверстие в клапане все равно остается, но оно мало настолько, что молекулы воздуха через него практически не проходят.

Отсюда естественным путем рождается вопрос относительно мембраны, образующей пространство вселенной. Как здесь могут быть устроены клапаны, обеспечивающие точки соприкосновения сфер, изменение общего размера мембраны, и вообще, механизм раздувания/сдутия космоса? Несложно догадаться, что как и повсюду в программе Картезианских игр, ответы, ясное дело, будут сводиться к вихрям в их разнообразных проявлениях.

Тут самое время отметить, что топология, рождавшаяся как самостоятельный раздел математики в середине XIX века, чуть ли не с самого начала была тесно связана с задачами вихревого движения. Примерно в течение десятилетия, с 1847 по 1857, в Германии были опубликованы основополагающие труды по топологии математиков Листинга и Римана, а еще год спустя там же появилась очень важная работа ученого-универсала Германа Гельмгольца об интегралах, описывающих вихри в идеальной жидкости.

***

Есть свидетельства, что уже Гельмгольц, знакомый с пионерскими работами Римана об искривленных поверхностях и о проблемах связности, понимал, что появление в жидкости вихря изменяет топологические свойства среды. В частности, область вне вихря становится многосвязной. Иначе говоря, если в спокойной жидкости любую замкнутую линию можно было стянуть в точку (односвязная область), то из-за вихря в жидкости образуется сквозное отверстие, а значит стягивание петли в точку возможно уже не всегда. Гельмгольц, напомним, математически строго показал, что вихревые трубки в среде не могут иметь висячих концов – они должны начинаться и заканчиваться на поверхностях жидкости, либо замыкаться на самих себя в кольца.

В последующие годы существенное продвижение топологических исследований было обеспечено шотландскими физиками Томсоном (Кельвином), Тэтом и Максвеллом – причем в самой непосредственной связи с изучением вихревого движения в явлениях гидродинамики и электромагнетизма. Шотландцы долгое время ничего, по сути, не знали о работах Листинга и Римана, однако были хорошо знакомы со статьей Гельмгольца о вихревых линиях и вихревых трубках, которая в значительной степени опиралась на геометрические идеи Римана.

К тому времени, когда на рубеже XIX-XX веков Анри Пуанкаре сконструировал свою многосвязную сферу гомологий – как возможную модель вселенной в форме замкнутого 3-мерного пространства – топология уже стала вполне самостоятельным и весьма абстрактным разделом математики. Иначе говоря, привязывать теоретические исследования к конкретным физическим явлениям для обоснования важности предмета уже не требовалось. Поэтому когда еще через четверть века было продемонстрировано, что абстрактную сферу Пуанкаре можно красиво сконструировать из додекаэдра, попарно склеивая в 4-мерном пространстве его противоположные грани, никто не бросился искать способы возможной физической реализации для такой модели. Или для близкой ей разновидности, сконструированной, скажем, не из «платонова» додекаэдра, а из «архимедова» усеченного икосаэдра. Тоже состоящего из 12 правильных пятиугольных граней в той же самой конфигурации, но в сочетании с 20 шестиугольниками, то есть в сумме имеющего 32 грани.

Примерно тогда же, в начале 1930-х, когда молодой германский математик Герберт Зейферт сконструировал модель додекаэдрического пространства Пуанкаре, физику Вольфгангу Паули приснился грандиозный сон о мировой гармонии, которую олицетворяли огромные часы хитрой конструкции. Если в обычных часах имеется лишь один плоский циферблат, поделенный на 12 делений, то часы вселенной из сна больше походили на сферу, имея 2 взаимно-перпендикулярных круглых циферблата, каждый из которых был разбит на 32 сегмента. И если бы ученый калибра Паули углядел в этой подсказке не просто воодушевляющую символическую картину, а нечто очень конкретное и имеющее самое непосредственное отношение к устройству мироздания, то наука физика к сегодняшнему дню могла бы выглядеть существенно иначе.

[1] D. Kotschick, «The topology and combinatorics of soccer balls», American Scientist 94 (July-August 2006):350-357

[2] Trott, M. «Bending a soccer ball — mathematically». Mathematica Guidebooks, (www.mathematicaguidebooks.org/soccer/), June 2006