Благодаря инструментарию топологии имеется возможность проследить глубокие связи между моделью вселенной в виде двухслойного футбольного мяча и идеей пространства как гранулированной вихревой губки. Нельзя сказать, что взаимосвязи эти тривиальны и самоочевидны, однако в целом их можно показать на примере достаточно простых и внятных аналогий. Из этих же иллюстраций попутно станет яснее, откуда у вселенной берутся такие свойства, как хиральность, калибровочная симметрия и скрытые пространственные измерения.

Когда чуть выше шла речь о футбольном чемпионате мира 2006 года и сопровождавшей его научной статье про топологические свойства мяча, то были упомянуты два примечательных анимационных клипа Майкла Тротта1. Данные клипы графически реализуют математику гладких преобразований мяча в другие фигуры, и сейчас самое время рассмотреть вторую из этих иллюстраций. Она демонстрирует процесс морфинга между двухслойным футбольным мячом и трилистным узлом – еще одной богатейшей любопытными свойствами фигуры в топологии.

Морфинг трилистного узла в двухслойный мяч

Говоря точнее, морфинг происходит в противоположную сторону – ибо это узел-трилистник преобразуется в футбольный мяч. Для того, чтобы такой трюк стал возможен, на тороидальную поверхность узла наносится та же, что и в первом клипе, сетка мощения многоугольниками – 2×32 клетки футбольного мяча – но теперь не в одном, а в трех экземплярах-копиях, замкнутых в периодический узор. После чего все три копии одновременно отображаются на два слоя римановой сферы, изображающей футбольный мяч. В итоге, на финальном графике, все три пары футбольных мячей совпадают друг с другом.

Эта иллюстрация важна по целому ряду причин. Во-первых, имеется прямая связь между топологией трилистного узла и лентой Мебиуса. Если такую ленту перекрутить не на один полуоборот, как обычно, а на три, а затем разрезать получившуюся фигуру по осевой линии, то получится односторонняя лента, завязанная в трилистный узел. Во-вторых, узел-трилистник является классическим – как и лента Мебиуса – примером хиральной фигуры, то есть при наложении не совпадает со своим зеркальным отображением. Гладкое же гомотопическое преобразование между тором-трилистником и двухслойной сферой показывает, что и в этой, казалось бы, шарообразной фигуре, не имеющей правых и левых предпочтений, на неких внутренних уровнях оказывается заложено свойство хиральности.

*

Ну и, наконец, очень важен момент с тремя копиями двухслойного покрытия, которые на поверхности узла-трилистника расположены периодически друг за другом, а на римановой сфере укладываются в полностью совпадающие три пары. Иначе говоря, если в геометрии вселенной имеется хиральная топология узла-трилистника, то тогда каждая из двух поверхностей мембраны-сферы должна иметь трехслойную структуру.

Здесь самое время вспомнить, что в течение примерно полувекового интервала, с 1930-х по 1980-е годы, ученые к великому своему удивлению обнаружили в физической природе три разных типа материи – пространственно совпадающих друг с другом, но существенно отличающихся в своих свойствах. Сначала, можно напомнить, в середине 30-х годов в космических лучах высокой энергии была обнаружена новая частица мюон, по большинству признаков идентичная электрону, но только живущая крошечные доли секунды и имеющая примерно в 200 раз большую массу. Затем, к концу 70-х, благодаря новым сверхмощным ускорителям частиц был открыт тау-лептон – еще более трудноуловимый двойник электрона, превышающий его по массе в 3520 раз.

Попутно и для мюона, и для тау-частицы в более мощных спектрах энергии были открыты все остальные партнеры-двойники, соответствующие тем частицам, что вместе с электроном образуют более привычную человеку материю – кваркам, нейтрино, античастицам. Но хотя три семейства частиц уже давно являются достоверным научным фактом, смысл этого факта для современной науки продолжает оставаться совершенно неясным… Если же обратиться к модели пространства как жидкой гранулированной среды (или вихревой губки, в терминах XIX века), то целый ряд аналогий из динамики вихрей и современной нелинейной оптики может пояснить, что означают три данных семейства частиц.

Но для начала имеет смысл упомянуть важные итоги экспериментов PVLAS [2], опубликованные в 2006 году большой группой итальянских ученых. Совместный проект нескольких исследовательских центров Италии, PVLAS, расшифровывается как Polarizzazione del Vuoto con LASer или «Поляризация Вакуума ЛАЗером» и на протяжении более десятка лет предоставляет физикам полигон для широкого исследования физических, в частности оптических свойств «пустого» пространства. В самых общих чертах эксперимент сводится к герметичной камере, в которой создаются условия глубокого вакуума, а на луч лазера, проходящий через камеру, воздействует магнитное поле мощных сверхпроводящих магнитов. В рамках темы PVLAS подготовлено несколько десятков научных работ разного свойства, однако здесь представляет интерес самый главный результат – надежное экспериментальное подтверждение того факта, что под действием магнитного поля вакуум вращает плоскость поляризации луча. То есть по своим оптическим свойствам пустое пространство может вести себя аналогично (жидкому) кристаллу с двойным лучепреломлением.

**

Среди множества феноменов, которые благодаря лазеру и новым материалам обнаружены в области нелинейной оптики, важное место занимают эффекты скачкообразного изменения частоты в луче – генерация суммы и разности двух частот, генерация второй и третьей гармоник. В данный момент особый интерес представляют два последних феномена: генерация второй гармоники или порождение колебаний с удвоенной частотой; и генерация третьей гармоники или утроение первоначальной частоты колебаний. Поскольку явления эти имеют четко выраженную волновую природу, а все частицы материи также являются волноподобными сгустками энергии, логично предполагать, что и для таких волн могут существовать условия, когда частота их колебаний удваивается или утраивается.

Иначе говоря, опираясь на известные аналогии между свойствами нелинейных оптических сред и физического вакуума как гранулированной губки или пены, логично предположить, что три семейства частиц, образующих материю – это в действительности одно и то же семейство, но в разных режимах колебаний. Эффект возрастания частоты колебаний частицы легко проиллюстрировать на примере шарика от пинг-понга, прыгающего между поверхностями стола и ракетки. Когда расстояние между ракеткой и столом уменьшается, то есть сокращается амплитуда колебаний шарика, частота его прыжков заметно увеличивается. Однако для частиц материи, словно волчки вращающихся на поверхности мембраны, еще лучше подходит аналогия с фигуристами на льду и часто используемым ими приемом для увеличения скорости вращения. Сначала фигурист начинает крутиться с расставленными в стороны руками, а затем прижимает их к телу, из-за чего момент инерции тела сокращается, а угловая скорость вращения, соответственно, увеличивается.

Вспоминать эти общеизвестные примеры, памятные всем по школьным урокам физики, здесь понадобилось для того, чтобы пояснить механизм увеличения массы электрона (и прочих частиц) при переходе из одного семейства в другое. Естественные физические ограничения не позволяют точно измерить размер электрона, не говоря уже о его двойниках в других семействах, мюоне и тау-лептоне. Поэтому все эти частицы принято считать «точками», не имеющими размера. Кроме того, вспоминая известный закон об эквивалентности массы и энергии, надо понимать, что под словами «мюон в 200 раз тяжелее электрона» понимается не сила притяжения частиц к земле, а то, насколько один сгусток энергии более инертен, чем другой. Иначе говоря, насколько тяжелее сдвинуть его с места или отклонить траекторию движения. Осталось лишь вспомнить гироскоп, классический пример быстро вращающегося волчка, и одно из главных его свойств – чем больше угловая скорость вращения, тем большую надо приложить силу, чтобы сдвинуть с места ось гироскопа. Откуда в общих чертах становится понятно, что увеличение «массы» точечных частиц при переходе от одного семейства к другому – это одно из естественных следствий увеличения частоты их колебаний.

И уж коль скоро разбираемая здесь модель позволяет преодолевать естественные физические ограничения приборов и на примере простых аналогий рассматривать внутреннее устройство «точек», то самое время вспомнить одну из самых грандиозных аналогий. А именно, между устройством спиральной галактики с баром-перемычкой по центру, вращающимся разбрызгивателем воды на лужайке и, наконец, электроном-протоном, в своем верчении разбрызгивающих кванты-фотоны словно струи света или звездные рукава. Эта аналогия уже встречалась в других местах, но и здесь она пригодится для того, чтобы пояснить один из самых главных моментов гранулированной геометрии – каким образом, собственно, порождается пространство зернистой структуры. Или, формулируя чуть иначе, как формируется ткань мембраны.

***

То, что вселенная быстро расширяется, а мембрана, соответственно, движется, предполагается неоспоримым научным фактом. Всякая же частица материи – пара электрон-протон – в каждом такте своей осцилляции разбрызгивает кванты энергии в направлениях, перпендикулярных оси колебаний. Другими словами, в плоскости мембраны. Всякий же квант света в своем распространении имеет спиральную структуру винтовой дислокации или вихревой нити. А натянутая нить, быстро движущаяся в неподвижном воздухе, как известно, оставляет за собой цепочки парных вихрей, именуемых вихрями фон Кармана. Если же таких нитей не одна и не две, а очень-очень много, то неподвижная прежде среда после прохождения такой решетки превращается в бурлящую пену или, другими словами, вихревую губку. Иначе говоря, «ничто» превращается в «нечто».

«Ничто» превращется в «нечто»

В этой картине достаточно близко воспроизводится сцена из сна про черепаху и трех ее слонов. Однако для научного обоснования столь смелой гипотезы одного лишь сна, прямо скажем, как-то маловато. Ведь если за данной идеей что-то есть, то должны существовать и физические эксперименты, каким-либо образом подтверждающие фантазии. И если как следует поискать, то в области современной нелинейной оптики действительно можно отыскать экспериментальные результаты, в общих чертах воспроизводящие физику описанного процесса.

Уже упоминавшаяся ранее группа исследователей из Каталонского политехнического университета Барселоны (Molina-Terriza, Recolons, Torner плюс Дмитий Петров) в 2002 году опубликовала статью [3] о первом, как предполагается, экспериментальном наблюдении спонтанного зарождения массивов оптических вихрей. Опыты в данном случае проводились на основе нелинейного кристалла трибората лития, генерирующего вторую гармонику в лазерном луче (длина волны обыкновенного луча 1064 нанометра, у необыкновенного луча второй гармоники, лежащего в перпендикулярной плоскости, длина волны соответственно равна 532 нанометра). Для генерации второй гармоники использовалась известная техника накачки с помощью ультракоротких импульсов другого лазера длительностью 8 наносекунд. В луч накачки искусственно встраивались винтовые дислокации с помощью генерируемых компьютером голограмм. В результате интерференционного взаимодействия этих лучей в среде начинают спонтанно возникать многочисленные пары вихрей-близнецов и вихревые цепочки типа Кармановых.

Обнаружившие этот эффект исследователи подчеркивают, что вихревые цепочки в гидродинамике, конечно, порождаются при существенно иной физике процессов. Однако и этот опыт, и многие другие современные результаты науки свидетельствуют, что между лазерной оптикой и динамикой жидкостей имеются очень глубокие аналогии.

[1] Trott, M. «Bending a soccer ball — mathematically». Mathematica Guidebooks, (www.mathematicaguidebooks.org/soccer/), June 2006

[2] E. Zavattini, G. Zavattini, G. Ruoso, E. Polacco, E. Milotti, M.Karuza, U. Gastaldi, G. Di Domenico, F. Della Valle, R. Cimino, S. Carusotto, G. Cantatore, M. Bregant «Experimental observation of optical rotation generated in vacuum by a magnetic field», Physical Review Letters Vol. 96AR. 110406 (2006)

[3] Gabriel Molina-Terriza, Dmitri V. Petrov, Jaume Recolons, and Lluis Torner. «Observation of optical vortex streets in walking second-harmonic generation», Optics Letters, Vol. 27, Issue 8 (2002), pp. 625-627