Разнообразные формы вселенных, порождаемых в вычислительных экспериментах Лолл, Амбьорна и Юркевича для их модели КДТ, естественным образом делятся на три существенно отличающиеся группы или фазы. Той вселенной, что реально наблюдается человеком в природе, по своей геометрии соответствует лишь одна из фаз модели, условно именуемая протяженной вселенной. Две же остальные фазы на окружающий мир не похожи совершенно.

Типичные конфигурации КДТ в фазах A, B и C (внизу самая интересная — с протяженной 4D-геометрией)

Как показывают вычисления-симуляции, принадлежность порождаемого мира к той или иной фазе определяется двумя параметрами: гравитационной константой G и так называемым показателем асимметрии Δ, который фиксирует соотношение масштабов длин по осям времени и пространства. При больших значениях G и исчезающе малых значениях дельты (фаза B) вселенная быстро коллапсирует в скомканный шар. Если же значение G мало (фаза A), то вселенная распадается на быструю смену пространственных слоев очень разного – вплоть до исчезающе малого – пространственного объема. В обоих этих случаях никакой макроскопически протяженной геометрии пространства-времени получить не удается.

Что же касается самой интересной фазы (C) – протяженной в пространстве и времени квантовой вселенной, то она появляется при достаточно больших значениях ньютоновой константы G и больших значениях показателя асимметрии Δ. Одно из важнейших достоинств модели КДТ – это высокая надежность метода, демонстрирующего, каким образом квантовое пространство устойчиво самоформируется из суперпозиции всевозможных геометрий. Создатели модели показали, что при изменении деталей в их симуляциях итоговые результаты эксперимента практически не меняются.

При этом разными способами определяемая размерность итогового протяженного пространства в макромасштабах всякий раз давала один и тот же, по сути, результат, равный 4 в пределах точности измерений. Однако попутно исследователям удалось сделать и удивительное открытие о размерности их модели-вселенной на микроскопических масштабах. Как оказалось, по мере уменьшения длин измерений вплоть до критически важной планковской длины (10^-35 м) размерность пространства-времени также динамически уменьшается от классических 4 до примерно 2… [1]

*

В повседневной жизни под размерностью пространства обычно понимают минимальное число замеров (измерений), требующихся для задания местоположения объекта – таких как широта, долгота и высота. По этой причине, собственно, в качестве эквивалентного термина для размерности пространства выступает «число измерений». Поскольку при подобном наивном определении как самоочевидное подразумевается гладкое и сплошное пространство, подчиняющееся законам классической физики, значения размерности для геометрических форм имеют целочисленные величины: 0 для точки, 1 для линии, 2 для поверхности, 3 для объемной фигуры.

Однако пространства и фигуры вполне могут иметь и другую, куда более сложную форму, характеризуемую дробной или, иначе, фрактальной размерностью. Например, морозные узоры на стекле не покрывают поверхность полностью, поэтому их размерность занимает промежуточное положение между 1 и 2. Или – другой популярный пример фрактала – дерево, каждую ветвь которого огрубленно можно полагать линией, однако в совокупности они заполняют часть 3-мерного объема. Для строгого описания такого рода форм в математике разработано несколько разных способов, вычисляющих число измерений и дающих в итоге разные числа, поскольку исследуются разные аспекты геометрии. Одна из наиболее известных и распространенных мер такого рода носит название хаусдорфова размерность, по имени германского математика Феликса Хаусдорфа, давшего ее определение в начале XX века. Суть этого определения сводится к тому, как объем некоторой области пространства зависит от ее линейного размера или «диаметра». Хаусдорфова размерность хороша тем, что вполне согласуется с обыденными представлениями о числе измерений в случаях, когда такие представления имеются. То есть хаусдорфова размерность объемной сплошной фигуры равна 3, гладкой поверхности – двум, гладкой кривой линии – единице. Для более же сложных конструкций и множеств фрактальной геометрии размерность Хаусдорфа может принимать дробные значения.

Возможны также и другие ситуации, когда для некоторых геометрических фигур количество измерений вообще не является фиксированной величиной и применяются иные методы определения размерности. В частности, одна из разновидностей вычислительных экспериментов в модели КДТ позволяет вычислять так называемую спектральную размерность пространства, основанную на моделировании физического процесса диффузии. Иначе говоря, в суперпозицию вселенных помещают что-то вроде чернильной капли, а затем наблюдают, как эта капля постепенно рассасывается. Составляющие же ее компоненты, соответственно, в это время мечутся из стороны в сторону под воздействием квантовых флуктуаций в строительных блоках пространства-времени. Для подобного рода экспериментов разработан специальный математический аппарат, который по темпам изменений в размерах чернильного облака позволяет определять количество измерений в данном пространстве.

Результат такого компьютерного эксперимента в условиях КДТ для больших масштабов дал ожидаемое значение 4, однако на микроскопических расстояниях оказался для исследователей в высшей степени неожиданным. Выяснилось, что количество измерений пространства зависит от масштаба, на котором это пространство изучают. То есть, когда диффузии разрешено происходить лишь очень краткое время, тогда число измерений у пространства-времени оказывается одним, а если диффузия длится достаточно долго, то постепенно размерность мира становится совсем другой. Формулируя то же самое чуть иначе, пространство демонстрирует способность гладко изменять свою размерность в зависимости от разрешающей способности микроскопа, имеющегося у исследователей.

**

Самим ученым, открывшим эту неожиданную закономерность, для ее наглядного пояснения не удалось подобрать подходящей аналогии из повседневной жизни. Зато у журналистов, комментировавших открытие в научно-популярной прессе, разнообразные метафоры отыскались довольно быстро. Одна из наиболее удачных, возможно, аналогий, приведена в журнале Scientific American, где квантовое пространство-время модели КДТ предложено представлять себе как снежные сугробы, покрывающие неровные склоны горы. Такой снег на больших масштабах длин выглядит полностью трехмерным и гладким, а при тщательном изучении структуры на малых расстояниях оказывается фракталом, составленным из плоских и ажурных гранул-снежинок.

Создателей КДТ, впрочем, куда больше интересовали не наглядные метафоры-аналогии, а куда более конкретные особенности получившейся модели. Например, насколько малы те масштабы, при которых классическая геометрия перестает работать? Эксперименты показали, что вплоть до длин порядка 10^-34 метра квантовая вселенная в целом все еще хорошо описывается классической, четырехмерной де Ситтеровой геометрией, хотя роль квантовых флуктуаций уже начинает нарастать. При более коротких расстояниях флуктуации пространства-времени становятся настолько сильными, что понятия классической геометрии быстро разваливаются, а количество измерений падает с привычных четырех до значения около двух.

Для лучшего понимания того, что означает термин «около двух», имеет смысл поподробнее ознакомиться с тем, как именно ученые исследовали размерность пространства в своей модели на малых расстояниях. Важнейшая особенность квантовых вселенных, порождаемых в КДТ, – это их строго послойное формирование, по сути своей очень похожее на то, как объемные формы послойно выстраивают сканеры-томографы или 3D-принтеры. В модели КДТ методы диффузии дали самые интересные результаты при исследовании внутренней геометрии так называемых «тонких» и «толстых» пространственных слоев.

Тонким слоем, по определению, называют пространственную геометрию при фиксированном целочисленном значении времени где-то внутри вселенной. Или проще говоря, это временной срез самой минимальной толщины. Ну а толстый слой, соответственно, это что-то типа сэндвича – фрагмент пространства-времени, состоящий из двух соседних тонких слоев. Именно для таких структур было обнаружено, что динамически определяемые размерности их геометрии совершенно не совпадают со значениями, которые принято ожидать от соответствующих подмножеств у классического четырехмерного пространства-времени.

***

В частности, для тонких слоев установлено, что измерения их хаусдорфовой размерности с хорошей точностью дают значение 3, однако спектральная размерность при этом оказывается в два раза меньше – всего 1,5. Более того, проведя дополнительные измерения по более сложной методике, исследователи смогли показать, что полный набор параметров данной системы соответствует вполне конкретному классу разветвленных полимеров. Иначе говоря на минимальных масштабах длин пространство оказывается фракталом древовидной структуры.

Не менее интересный результат был получен и для толстых слоев. Было обнаружено, что два соседних тонких слоя при совокупном рассмотрении имеют хаусдорфову размерность 4, а спектральная размерность соответственно возрастает до значения около 2. Этот результат показал, что геометрия толстых слоев образует промежуточный класс между тонкими слоями и полным пространством-временем со спектральной размерностью 4. В частности, геометрия толстых слоев – хотя еще далеко не классическая – выглядит уже более организованной и регулярной, нежели хаотичная геометрия тонких слоев.

Особо же примечательным оказывается здесь следующий факт. Гладкое изменение размерности пространства-времени от значения около 4 на больших масштабах до значения около 2 на малых расстояниях – это не только открытие КДТ, крайне неожиданное для самих создателей модели, но и результат, почти одновременно полученный совсем другими исследователями в существенно иных вариантах теории квантовой гравитации. Например, видный чешский физик Петр Хорава, давно работающий в США и считающийся одним из родоначальников концепции мира-браны в теории струн, в начале 2009 года предложил собственного кандидата на роль квантовой теории гравитации. По некоторым техническим причинам Хорава назвал свою теорию «квантовой гравитацией в точке Лифшица», но довольно скоро обнаружил в ней немало общего с КДТ, хотя и выстраивал свою модель на основе совсем других соображений. В частности, Хорава показал, что если на его теорию распространить идею «спектральной размерности», то можно вывести аналитически формулу для зависимости числа измерений от масштабов расстояний. По этой формуле получилось, что и в модели Хоравы спектральная размерность пространства уменьшается с 4 при больших масштабах до 2 на коротких расстояниях.[2]

Другой исследователь, германский теоретик Мартин Ройтер из университета Майнца, разрабатывает собственное направление, названное им QEG или «квантовая эйнштейновская гравитация». Ройтер развивает идею, много лет назад предложенную Стивеном Вайнбергом – о том, что на чрезвычайно малых масштабах расстояний может иметься некоторая «фиксированная точка», начиная с которой сила гравитации далее уже не нарастает. Когда Вайнберг предложил эту идею в 1970-е годы, у физиков еще не было математического инструментария для вычисления такой фиксированной точки в 4-мерном пространстве-времени общей теории относительности. К концу 1990-х Ройтеру удалось разработать нужный метод, а в начале 2000-х совместно с О. Лаушером им был установлен интригующий факт [3]. В квантовой эйнштейновой гравитации пространство-время на мельчайших масштабах расстояний оказывается фрактальным, а количество измерений сжимается с классических четырех до всего двух. Это открытие Ройтера очевидно соотносится с результатами КДТ и Петра Хоравы, что порождает естественный вопрос: а не являются ли все эти теории разными описаниями одной и той же модели? Сами исследователи с готовностью признают, что в конечном счете предложенные ими подходы вполне могут оказаться эквивалентными.

[1] J. Ambjørn, J. Jurkiewicz and R. Loll. «Spectral dimension of the universe», preprint Utrecht, May 2005 [hep-th/0505113].

[2] Petr Horava, «Quantum Gravity at a Lifshitz Point», arXiv: [hep-th/0901.3775], 2009 ; Petr Horava, «Spectral Dimension of the Universe in Quantum Gravity at a Lifshitz Point», arXiv: [hep-th/0902.3657] 2009.

[3] M. Reuter. «Nonperturbative evolution equation for quantum gravity», Phys. Rev. D 57 (1998) 971-985 [hep-th/9605030]; O. Lauscher and M. Reuter. «Fractal spacetime structure in asymptotically safe gravity», JHEP 0510 (2005) 050 [hep-th/0508202]