Один из последних номеров еженедельника New Scientist, известнейшего в мире журнала о новостях науки и технологий, оформлен как спецвыпуск, посвященный «окончательному вопросу существования: ЧТО ТАКОЕ РЕАЛЬНОСТЬ?»

Сразу же имеет смысл отметить, что хотя содержание спецвыпуска и преподносится на обложке как справочное «руководство пользователя», на самом деле никаких содержательных ответов на ключевой вопрос бытия читатели там не найдут. Вместо этого им предлагается своего рода путеводитель по разным вопросам, отыскав ответы на которые человек сумеет, быть может, когда-нибудь понять тот странный мир, в котором живет…

Но очень любопытно, однако, выглядит на обложке журнала картинка, иллюстрирующая, так надо понимать, тему номера. Вполне очевидно, что в качестве символа пока еще не познанной наукой реальности здесь избрана лента Мебиуса – простейший пример замкнутого на себя пространства в виде односторонней поверхности.

Особо интересна эта иллюстрация вот по какой причине. Для «Книги новостей», скажем, такой символ вполне сгодился бы хоть на обложку, поскольку примечательные свойства данного топологического объекта действительно фигурируют в фундаментальных основах всей модели-реконструкции. Однако в текстах спецвыпуска New Scientist лента Мебиуса НИГДЕ не упоминается ни словом – ни в качестве наиболее вероятной модели реальности, ни каким-либо образом еще.

Но при этом люди, выпускавшие журнал, сделали все, чтобы было совершенно ясно – выбор данного символа сделан отнюдь не случайно. Та же самая лента Мебиуса, но еще в трех разных обличьях, иллюстрирует не только статьи в бумажном выпуске, но и соответствующий онлайновый раздел на сайте журнала. Поскольку художники у всех этих иллюстраций разные, понятно, что они выполняли чей-то заказ. Но вот чей именно заказ (и с каким, собственно, замыслом), на этот вопрос вряд ли кто даст внятный ответ…

Конечно же, для всяких необычных фактов при желании можно отыскать и вполне заурядное объяснение. Достаточно правдоподобно, скажем, выглядит такая версия. Оформлять научную публикацию содержательными иллюстрациями, но при этом ни слова не говорить о том, что они означают – это дело, может быть, и необычное, но наверняка крайне редкое. Объяснимое, к примеру, каким-нибудь частным недоразумением со снятием одного из текстов при окончательной верстке материала…

При напряженном режиме работы, характерном для выпуска газет и еженедельников, подобные недоразумения хоть и редко, но случаются. Вся штука в том, однако, что аналогичные странные несоответствия между обложкой и содержанием в действительности обнаруживаются не только в журналах, но и в научных книгах.

И тоже, что интересно, замечены они в непосредственной связи с теми важными – но не сказать общеизвестными – фактами, которые подробно разбираются в «КН».

Вот, к примеру, как выглядит обложка примечательной книги Ч. Дёринга и Дж. Гиббона «Прикладной анализ уравнений Навье-Стокса» (C.R. Doering, J.D. Gibbon. «Applied analysis of the Navier-Stokes equations». Cambridge University Press, 1995).

Книга эта замечательна не только и не столько тем, что в тексте ее нет ни пояснений, ни упоминаний о характерном 3D-графике, изображенном на обложке и очевидно напоминающем по виду две фазы колебаний – «холм и яму» – осциллона в гранулированной жидкости.

Куда важнее собственно содержание работы, о котором сами авторы в предисловии говорят примерно так.

Эта книга не предназначена в качестве обзора или справочника, не писалась она и как исследовательская монография. Это не учебник по механике жидкостей и не книга с учебным курсом анализа.

Цель работы скорее в том, чтобы особо выделить ту специфическую проблему, которая поджидает следующее поколение прикладных математиков и математических физиков. Причем проблема эта, по компетентному мнению авторов, особо серьезна тем, что несмотря на свою давность до сих пор не является широко признанной в обоих упомянутых сообществах.

Суть же ее в том, что для одной из фундаментальных моделей классической механики, находящей широчайшее применение в инженерных приложениях – уравнений Навье-Стокса для динамики несжимаемой жидкости – до сих пор нет ясности, является ли эта модель самосогласованной и до каких пределов оправдано ее применение.

В сущности своей этот набор нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных является специфической переформулировкой законов Ньютона для движения жидкого материала. Принято считать, что эти уравнения должны описывать общее поведение флюида для газов и жидкостей – от ламинарного до турбулентного потоков и в широчайших масштабах, простирающихся от менее чем миллиметр до астрономических расстояний.

Однако так ли это на самом деле, никто по сию пору наверняка не знает. Потому что в подавляющем большинстве случаев точных решений для уравнений Навье-Стокса отыскивать не удается.

Известны, конечно, точные решения для самых простейших примеров, обычно соответствующих ламинарным течениям. Однако для великого множества действительно важных приложений, включая турбулентность, эти решения с необходимостью должны быть модифицированы, подогнаны, обрезаны, упрощены и так далее. Иными словами, решения приходится аппроксимировать аналитическими или численными методами для того, чтобы извлекать из них какие-то осмысленные предсказания для практических нужд.

На практике это работает весьма неплохо – поскольку хорошая аппроксимация нередко может быть столь же или даже более полезной вещью, нежели слишком сложный точный результат.

Принципиального характера проблема здесь в том, что никогда и никем не было показано, что уравнения Навье-Стокса, взятые в трех пространственных измерениях, обладают гладкими решениями для произвольных начальных условий – даже для очень гладких, физически обоснованных начальных условий.

Для сугубо прикладных ученых вопросы о существовании, уникальности и регулярности решения могут казаться несущественными, чисто математическими формальностями. Однако на самом деле здесь таится проблема самого что ни на есть физического свойства – данные вопросы оказываются очень глубоко связанными с эффективностью уравнений Навье-Стокса в качестве модели для турбулентного поведения жидкостей.

В частности, можно показать, что такие уравнения способны порождать решения, за конечное время приводящие к особым состояниям сингулярности. Если же такое происходит, то тогда последующая эволюция системы может быть неуникальной и нарушающей фундаментальные ограничения ньютонова детерминизма для всей этой модели.

Более того, сингулярности в решениях сигнализируют о том, что данные уравнения способны порождать структуры произвольно малых масштабов. А это противоречит одному из базовых предположений (о разделении масштабов), на основе которых выводят гидродинамические уравнения из микроскопических моделей.

При более тщательном анализе выясняется, что именно те нелинейные члены уравнений, поведение которых не удается проконтролировать математически, – это в точности те самые компоненты, которые описывают феномен, лежащий в основе физического механизма для образования вихрей и порождения турбулентности… [конец цитаты]

По процитированному длинному фрагменту несложно, наверное, заметить, что углубленный анализ базовых уравнений гидродинамики позволяет выводить из них значительно больше результатов, нежели можно было бы ожидать при сугубо классическом подходе ньютоновой физики.

Картинка на обложке книги Дёринга и Гиббона, собственно, и является наглядной иллюстрацией одного из таких неожиданных результатов. Хотя сами авторы в своей работе на него не ссылаются, благодаря сопроводительной к книге информации можно узнать, что график позаимствован из публикации другого коллектива ученых: Matthaeus, Stribling, Martinez, Oughton and Montgomery (1991), `Decaying, two-dimensional, Navier-Stokes turbulence at very long times, Physica D, 51, pp. 531-538.

После некоторых поисков данную статью можно отыскать в свободном онлайн-доступе. И выяснить, что в своем полном виде иллюстрация к результатам компьютерного моделирования задачи о поведении турбулентности в течение длительного времени выглядит так.

Серия графиков ради наглядности демонстрирует в 3 измерениях результаты 2D-моделирования поведения системы, первоначально представляющей собой совершенно беспорядочную совокупность вихрей на поверхности (вихри, вращающиеся в одну сторону, отображены по вертикали вверх, вращающиеся в другую сторону – вниз).

С течением времени происходит «упрощение топографии»: более крупный вихрь поглощает соседа, вращающегося в ту же сторону, отчего приобретает дополнительную энергию и становится еще крупнее. Финальным состоянием этой динамики (количество итераций-пересчетов t=292) оказывается довольно неожиданная для исходного хаоса картина сингулярности, где почти вся энергия системы сосредоточена в двух отдельных вихрях противоположной направленности.

Кроме того, авторы исследования отмечают, что на поздних фазах модели происходит «не совсем понятное появление у вихрей признаков поведения, подобного частицам»… То есть имеются основания говорить, что исходя из чисто гидродинамических уравнений Навье-Стокса здесь продемонстрирована динамика, похожая на самозарождение пары частица-античастица в среде типа «вихревая губка».

Наконец, для полноты картины, уместно привести обложку еще одной книги: W. Briggs, V.E. Henson, S. McCormick. «A Multigrid Tutorial». Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000.

Данная книга подготовлена как учебник на основе некоторых задач, решаемых Центром прикладного научного компьютинга в Ливерморской национальной лаборатории им. Лоуренса, и посвящена численным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных.

На обложке книги, как можно видеть, изображен все тот же самый «символ частицы-осциллона», но теперь уже в контексте совершенно другой задачи. Здесь этот график получается как «точное двух-пиковое решение» для уравнения Пуассона с однородными граничными условиями Дирихле.

Вряд ли здесь будет к месту начинать перечисление тех важных областей науки и техники, где находит приложение уравнение Пуассона, описывающее и электростатическое поле, и стационарное поле температуры, и поле давления, и поле потенциала скорости в гидродинамике.

Достаточно, наверное, отметить лишь одно. Если при решении чрезвычайно разных задач в итоге у физиков часто получается один и тот же, по сути, результат, то можно, конечно, делать вид, что это еще одно случайное совпадение.

Но, быть может, разумнее усматривать в этом указатели на единый «гидродинамический» механизм, лежащий в основе всех процессов природы?