Научно-мистическое расследование переходит в стадию финальных обобщений. Предыдущие эпизоды сериала см. через Навигатор.

Заглавная картинка, которая уже анонсировала этот этап следствия несколько ранее, выглядит запутанной и пугающей – примерно как и вся природа гигантского космоса для современной науки.

Кто-то из наших мудрейших ученых, правда, пытается делать вид, будто «почти все» в окружающем человека мире наукой уже практически, считай, постигнуто (и в итоге представляется им бессмысленно-нелепым, если по-честному, однако так формулировать обычно стесняются).

Но всякий раз, когда заходит очередной разговор об «окончательности» построенной картины мира, очень полезно вспоминать о древнегреческом мудреце Аристотеле, которого по сию пору принято считать одним из величайших философов за всю историю человечества. И при этом компетентные люди легко и убедительно вам продемонстрируют, что на самом деле в философии Аристотеля не только полностью ложными являются доктрины логики, но и вообще в свете современной науки практически любая идея из его исключительно влиятельных когда-то книг «Физика» и «О небе» не может считаться верной…

Это надо повторить еще раз – для доходчивости: любая из научных идей великого и очень логичного мыслителя древности с позиций нынешнего знания является ошибочной.

Иначе говоря, если история вообще хоть чему-то способна научить человека, имеет смысл всегда быть готовым к тому, что идеи о мире, представляющиеся нынешним мудрецам практически бесспорными, завтра могут оказаться смешной и наивной чепухой. Ну, или не наивной и даже не смешной. Но все равно чепухой.

Генеральный замысел расследования Sci-Myst и заключается, собственно, в том, чтобы потихоньку и постепенно читатели привыкали к одной весьма древней, но по-прежнему великой и подрывной идее мистиков: абсолютно все в этом мире устроено существенно иначе, нежели представляется нашему поверхностному внешнему зрению.

И если научиться смотреть по-другому, изнутри, то само собой исчезает все нелепое и пугающее. Совсем наоборот, общая картина становится элегантно красивой и в сущности довольно простой – так что можно объяснить даже детям. Но с другой стороны, если начать углубляться в детали-подробности, то устроено все тут весьма и весьма нетривиально. Потрясающе изощренно, можно сказать. Но при этом и все более ошеломительно красиво – вместе с постижением каждого уровня глубины…

И дабы проиллюстрировать этот комплекс идей событиями и картинками из текущих новостей, можно сконструировать своеобразный «триптих постижения». Композицию, олицетворяющую единое устройство вселенной на всех ее масштабах – от микромира частиц до макроструктуры космоса.

Для человека наших дней здесь изображено вот что. На левой панели – иллюстрация к совсем свежей работе физиков-экспериментаторов [HR], которые в условиях квантовой сверхтекучей среды (конденсат Бозе-Эйнштейна) породили стабильный «хопфион» – динамическую структуру сложного узла-солитона в форме расслоения Хопфа. На правой панели – обложка январского, 2016 года, выпуска журнала New Scientist, тема номера которого рассказывает о физической теории, где глобальная черная дыра превращается в дыру белую, откуда порождается новый цикл эволюции вселенной.

Что же касается панели посередине, то она, с одной стороны, показывает сечение тора в расслоении Хопфа, а с другой – внутреннее устройство разумной структуры, превращающей черную дыру в дыру белую. Но об этом, впрочем, человеку современному пока ничего неизвестно.

А вот наши потомки в относительно недалеком будущем на всех трех картинках сразу и без труда распознают важнейшие элементы в основах природы вселенной (этому будут учить в средней школе). Ну и поскольку картинки-то уже повсеместно распространяются и сегодня, можно считать, что именно сейчас мы начинаем переход в то самое будущее, где вся наука у человечества станет выглядеть существенно иначе.

(1) Две цитаты

Дабы сразу же была вполне ясной и понятной концептуальная основа, на базе которой мыслится собирать и соединять все подходящие элементы картины, понадобится привести две цитаты – одну маленькую и одну большую.

Цитата короткая ранее уже нам встречалась – это программный девиз мощной коллаборации It from Qubit или «Это все из кубитов», задумавшей объединить фундаментальную физику и квантовую информатику на основе гидродинамических идей (см. Sci-Myst #9):

Один из лозунгов звучит так: «Гравитация – это гидродинамика сцепленности». На сегодняшний день это не более, чем просто слова, однако мы нацелены на то, чтобы превратить их в точные формулы…

Цитата вторая, более длинная, позаимствована из книги «Другая вселенная», написанной известным физиком Робертом Лафлином, лауреатом Нобелевской премии 1998 года (Robert B. Laughlin. «A Different Universe: Reinventing Physics from the Bottom Down». Basic Books. 2005).

По совершенно случайному совпадению Лафлин давно работает в том же Стэнфордском университете, где ныне разместился штаб коллаборации It from Qubit. И хотя в этот проект коллеги Лафлина не позвали, именно у него можно найти вполне внятное объяснение тому, по какой причине основой для объединения эйншейновой теории гравитации, квантовой физики и информатики должна быть именно гидродинамика:

Ирония заключается в том, что наиболее творческая работа Эйнштейна, его общая теория относительности, в итоге с необходимостью сводится к концепции пространства как физической среды. В то время как изначально Эйнштейн исходил из утверждения, что никакой такой среды не существует…

Идея о том, что пространство может быть своего рода материальной субстанцией, на самом деле очень древняя, прослеживаемая еще к древнегреческим стоикам, которые и дали этому название – «эфир».

Эфир был очень прочно укоренен в умопостроениях Максвелла, когда он изобретал то описание электромагнетизма, которое мы используем и поныне. Электрические и магнитные поля Максвелл представлял как смещения и потоки эфира, отчего и позаимствовал для их описания соответствующую математику из теории жидкостей.

Эйнштейн, напротив, категорически отверг идею эфира и на основе этого «несуществования» вывел, что уравнения электромагнетизма должны быть относительными. Но затем тот же самый мыслительный процесс в итоге привел Эйнштейна к тому самому эфиру, который он поначалу отверг. … [Желательно понимать, что] На самом деле формулы относительности ничего не утверждают о факте существования или несуществования всепроникающей материи, наполняющей вселенную. Теория относительности говорит лишь о том, что любая такая материя должна обладать релятивистской симметрией.

И вот далее выясняется, что материя такая действительно существует. Примерно в то же время, когда начали принимать теорию относительности, исследования радиоизлучений начали показывать, что пустой вакуум пространства имеет собственную спектроскопическую структуру – подобную той, которая имеется у обычных квантовых твердых сред и жидкостей.

Последующие исследования на больших ускорителях частиц ныне привели нас к пониманию того, что пространство – это такая среда, которая больше похожа на кусок оконного стекла, нежели на идеальную ньютонову пустоту. Пространство наполнено «материалом», который в обычных условиях выглядит прозрачным, но его можно сделать видимым – если ударить посильнее и выбить его часть.

Современная концепция вакуума пространства, ежедневно подтверждаемая экспериментами, – это релятивистский эфир. Но мы не называем это так, как оно есть. Потому что это табу.

#

Если сопоставить ключевые идеи двух этих цитат, то совсем несложно сообразить, почему в качестве «основы всего» целесообразно закладывать именно гидродинамику. По сути дела, это просто чуть иначе сформулированная идея о полном возврате в физику ошибочно отвергнутой концепции эфира – как всепроникающего сверхтекучего флюида, образующего ткань пространства.

Ну а поскольку прямо и открыто данный факт признать все по-прежнему стесняются (табу это очень мощная форма запрета), в науке то и дело отмечаются довольно странные ситуации, порождаемые нестыковками в фундаментальных основах. Что особенно заметно в моменты празднований тех или иных юбилеев.

Сразу три примечательных события такого рода имели место в конце прошлого 2015 года.

(2) Три юбилея: Максвелл

150 лет теории электромагнетизма. В 1865 году была опубликована большая статья Джеймса Клерка Максвелла, где впервые в истории физики удалось объединить разные и отдельные прежде феномены электричества, магнетизма и света в единую, математически самосогласованную картину.

И что важно подчеркнуть, это бесспорно великое объединение удалось Максвеллу благодаря тому, что он ввел в физику новую концепцию под названием «ток смещения». Лишь благодаря действию этого специфического «тока» в уравнениях стало видно, что известные прежде эффекты магнетизма и электричества на самом деле являются разными проявлениями одного и того же по своей природе взаимодействия.

Но столь же необходимо подчеркнуть и нечто иное. Когда сегодня – полтора века спустя после этого великого открытия – вы заглянете в современные учебники-справочники-энциклопедии, чтобы получше узнать о сущности концепции, столь важной для физики электромагнетизма, то обнаружите удивительный факт. Наука так и не может внятно объяснить, что же это такое – «ток смещения»…

Вместо объяснения интересующимся предложат мутные интерпретации типа того, к примеру, что это «как бы электрический ток, но только без перемещения электрических зарядов». А затем поскорее перейдут к математике формул, ничего, естественно, тут не объясняющих, но создающих видимость понимания относительно природы происходящего.

И хотя разнообразных интерпретаций для постижения тока смещения можно найти немало, ни в одном из сегодняшних учебников и справочников категорически не упоминается лишь то объяснение, которое выглядит самым естественным. Объяснение простое и наглядно подтверждаемое опытами, полностью выводимое из законов гидродинамики и обнаруженное еще во времена Максвелла – на рубеже 1870-80-х годов.

В ту эпоху данный механизм для тока смещения получил название «теория пульсирующих сфер» Карла Бьеркнеса. Однако ныне – принимая во внимание новейшие открытия и терминологию современной экспериментальной физики – то же самое более естественно называть «осциллоны Бьеркнеса».

Иначе говоря, имеются в виду на редкость стабильные в своем поведении, осциллирующие волны-солитоны, имеющие две существенно разные фазы в процессе своих гармонических колебаний. Благодаря этим фазам, осциллоны – в отличие от обычных солитонов – способны образовывать связанные состояния. При колебаниях пары таких волн в противоположной фазе, они взаимно притягиваются, при колебаниях в одной фазе – взаимно отталкиваются.

Понятно, что уже с первого взгляда эта физика сразу напоминает поведение электрических зарядов. Но на самом деле аналогия тут много-много глубже. Карл Бьеркнес аналитически показал, а его сын Вильгельм экспериментально подтвердил, что такая гидродинамика «пульсирующих сфер» воспроизводит все известные феномены электромагнетизма…

Более того, если учесть, что электрический заряд в этой картине благодаря изначально волновой механике происхождения имеет природу гармонического осциллятора, а в квантовой физике нужный, но все так же неясный максвелловский ток смещения стали именовать «релятивистской поправкой», то можно увидеть и кое-что еще. Модель Бьеркнеса могла бы стать естественным мостом для объединения «классики» XIX века и существенно другой физики следующего столетия.

Могла бы – но не стала. В основе всех гидродинамических построений Карла Бьеркнеса неотъемлемо фигурирует идея всепроникающего эфира, ну а творцам новой физики померещилось, что материальная среда, образующая пространство, им совершенно не требуется.

В итоге же 150-летний юбилей теории великого объединения электричества и магнетизма наука, по сути дела, отпраздновала ныне в давно привычной всем пустоте своего «вакуума». Иными словами, так и не понимая, благодаря чему это объединение удалось осуществить…

(3) Три юбилея: Эйнштейн

100 лет ОТО. По чисто случайному, конечно же, совпадению, ровно полустолетие спустя после появления работы Максвелла, в ноябре 1915 года своим величайшим достижением в науке прославился Альберт Эйнштейн – опубликовав революционно новую теорию гравитации или иначе, Общую Теорию Относительности.

Благодаря Эйнштейну, теперь у научного мира появилась не просто в корне другая система взглядов на силу тяготения, а удивительно мощная 4-мерная система уравнений, в единое целое связавшая такие компоненты в природе вселенной, которые прежде казались существенно разными – геометрию пространства и времени с массой и энергией материи.

В научно-популярных книжках с некоторых пор уже стали штампом слова о том, что уравнения ОТО показывают нам, с одной стороны, каким образом масса и энергия материи искривляют ткань пространства-времени, а с другой стороны – каким образом искривления в геометрии пространства задают направление движения для материальных объектов природы.

О чем же в научно-популярных изданиях упоминают куда реже – и о чем старались не вспоминать в ходе празднований 100-летнего юбилея ОТО – так это про еще одно замечательное открытие, случившееся практически сразу же вслед за публикацией грандиозно важной работы Эйнштейна. Открытие, позволяющее нам смотреть не только на уравнения ОТО, но и вообще на устройство вселенной в целом совершенно иначе, куда более радикально новым образом…

Открытие Теодора Калуцы, сделанное на рубеже 1910-20-х годов, продемонстрировало коллегам-ученым, что уравнения ОТО в действительности скрывают в себе намного больше, чем представлялось даже самому Эйштейну.

Просто расширив размерность пространства с 4 до 5 измерений, Калуца обнаружил, что те же самые, по сути, соотношения ОТО, которые связывают геометрию пространства-времени и массу-энергию материи, теперь порождают не только эффект «силы гравитации», но и кое-что еще, столь же существенное. Для начала – все уравнения электромагнетизма Максвелла. А плюс к тому – еще одно, прежде никому неизвестное «скалярное поле». То есть специфическое силовое воздействие на любую точку пространства, в независимости от того, где она во вселенной находится…

Это был в высшей степени замечательный и в то же время сильно озадачивающий результат. С одной стороны, он демонстрировал, что не только «сила тяготения», но и все прочие известные на тот момент фундаментальные силы природы оказывались «иллюзией разных сил», на самом деле являясь лишь разными проявлениями одного и того же механизма, соотносящего энергию и перемещения объектов с искривлениями в геометрии окружающего их 5-мерного пространства.

Но с другой стороны, было совершенно неясно, что думать обо всем прочем из открывшегося. Как понимать пятое измерение, которое человек никогда не видит ни в каких экспериментах? И что означает это странное скалярное поле, постоянно воздействующее на все точки вселенной, но опять-таки не наблюдаемое человеком?

За ту сотню лет, что минула с момента великого открытия, множеством умнейших людей науки было выдвинуто немало самых разных вариантов для ответов на подобные вопросы. Однако и сегодня любой грамотный ученый физик, если будет честен, окажется вынужден признать, что ничего похожего на ясность с этими 5D-проблемами так и не появилось даже в теории. Не говоря уже об экспериментальных подтверждениях.

Что прежде, что теперь, для науки остается совершенно неясным, как выглядит геометрия 5-мерного мира, в котором одно и то же воздействие в своих 3-мерных проекциях может проявляться столь разными «силами», как электромагнетизм и гравитация.

Крошечный магнит, удерживающий скрепку от падения на землю, воздействует на нее силой, превышающей всю совокупную гравитационную силу целой планеты… Но при этом скрепка должна быть непременно поблизости от магнита, а неимоверно слабое гравитационное воздействие простирается на сотни и тысячи километров от источника. Как это может быть одно и то же воздействие? – Никто из ученых не объяснит.

Фактически, сие означает, что физическая наука вроде бы вполне понимает, что давно имеет в своем распоряжении математический инструмент для единого геометрического описания всех взаимодействий в природе. Вот только как воспользоваться этим инструментом – никто по сию пору не имеет ни малейшего представления.

И вряд ли удивительно, что в нынешних празднованиях великого открытия Эйнштейна – уже столетие спустя после появления уравнений ОТО – об этом предпочитают просто не вспоминать…

(4) Три юбилея: Фейнман

50 лет после чего? Ровно полвека тому назад, осенью 1965 года Нобелевской премии в области физики был удостоен один из наиболее ярких и харизматичных ученых XX века – Ричард Фейнман, разделивший ту высокую награду с еще двумя коллегами, Томонагой и Швингером. Все три физика получили признание за одно и то же выдающееся, спору нет, теоретическое достижение – развитие квантовой электродинамики.

Но вряд ли кто, однако, станет оспаривать, что ничего такого особо революционного, открывшего для науки действительно новые рубежи, именно в этом достижении в общем-то не было. Теоретики весьма успешно – и каждый по-своему – нашли способ улучшить уже известные формулы предшественников, благодаря чему стало возможным предсказывать результаты экспериментов с прежде небывалой для науки точностью.

Понятно, что это был большой успех. Но явно не из того ряда достижений, которые принято относить к подлинным прорывам, заслуживающим юбилейных празднований 50 или 100 лет спустя… Однако примечательно, что именно в тот же 1965 год, достопамятный лично для Ричарда Фейнмана, был впервые опубликован один его весьма особенный научный результат. Который сам Фейнман считал скорее забавным казусом, однако именно он-то и мог бы стать воистину революционным научным прорывом. Мог бы – но не стал…

Так что на сегодняшний день о полувековой дате со дня той знаменательной публикации – дискретной модели «шашечной доски» или, иначе, фейнмановой «релятивистской шахматной модели электрона» – не то что никто не вспоминал, но и вообще наслышан о ней лишь довольно узкий круг специалистов.
Для целей нашего расследования, однако, это реально важный сюжет, о котором следует рассказать хотя бы минимум подробностей.

Начать надо с того, что свою «шахматную модель» сам Фейнман так не называл (это имя появится позже и от других), а придумал он ее существенно раньше – еще в 1940-е годы. Когда будучи совсем молодым и нахальным ученым поставил перед собой весьма амбициозную цель – полностью переформулировать по-новому всю квантовую физику вообще и квантовую электродинамику в частности.

В процессе этой большой (и нельзя сказать, что безуспешной) работы Фейнман, среди прочего, изобрел не только самые знаменитые свои вещи, интегралы по траекториям и фейнмановские диаграммы, но и весьма мощно продемонстрировал эффективность нового инструментария. В частности, через свой собственный аппарат интегралов по путям он сначала нашел эквивалент для фундаментально важного уравнения Шредингера, а затем «замахнулся» и на релятивистское уравнение Дирака.

Однако тут-то у Фейнмана и случилась неудача… Точнее говоря, задачу удалось решить, но только в условиях весьма специфической игрушечной модели с двумя измерениями – одним для пространства, другим для времени. Причем в модели строго дискретной: частица здесь движется только скачками вперед и назад, и что существенно, со скоростью света (хотя это частица с массой). Если приравнять длину единичных скачков во времени и в пространстве, то частица находится как бы на клетках шахматной доски, и в каждый очередной момент сдвигается на одну из соседних клеток по диагонали – как фишка в шашках.

Хотя скачки происходят только со скоростью света, обычная, относительно небольшая скорость получается у частицы при усреднении всех таких скачков, совершенных для перемещения из точки A в точку B. Ну а самое главное, когда Фейнман применил к анализу поведения этой системы свой аппарат интеграла по траекториям, то ему удалось показать, что отыскиваемое решение полностью совпадает с решением релятивистского уравнения Дирака для случая двух измерений.

Здесь следует напомнить, что фундаментально важное уравнение Дирака красиво и естественно объединило в себе волновую квантовую механику, феномен спина частиц и эффекты теории относительности. А поскольку сам Поль Дирак в конце 1920-х годов, когда выводил свое знаменитое уравнение, вовсе не думал о какой-то дискретной модели, результат Фейнмана выглядел чрезвычайно любопытно и очевидно мог указывать на нечто весьма существенное в глубинном устройстве микромира…

Однако развить успех дальше оказалось не так-то просто, поскольку вместе с увеличением числа измерений задача становилась куда более сложной и запутанной. Найти полноценный интеграл по траекториям для уравнения Дирака не удалось, а оттого Фейнман счел этот путь для себя тупиковым и занялся разработкой других идей, отбросив «шашечную модель» вообще без какой-либо публикации.

Можно сказать, что научный мир узнал об этом «важном сигнале о другой физике» исключительно благодаря одному из друзей (и аспирантов) Фейнмана по имени Альберт Хиббс. Прослушав в Калтехе весьма особенный фейнмановский курс лекций об интегралах по траекториям, Хиббс загорелся идеей издать столь содержательный комплекс материалов в виде отдельной книги.

К 1965 году ему удалось-таки реализовать задуманное, а итогом работы стал выход в свет известного среди физиков учебника «Квантовая механика и интегралы по траекториям» (Quantum mechanics and path integrals. Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs. McGraw-Hill, New York, 1965, есть перевод на русский).

На страницах этой книги, собственно, и появляется впервые «дискретная шашечная модель» Фейнмана – в виде упражнения или «Проблемы 2.6», где читателям предлагается самостоятельно решить задачу методами интеграла по путям и увидеть, что в итоге получается тот же самый ответ, который дает решение уравнения Дирака…

(5) Еще один шанс

В том виде, как она появилась в истории науки, дискретная модель Фейнмана выглядит не более, чем забавная безделица или несложное математическое упражнение для аспирантов-физиков. Почему так произошло, никто нам уже не объяснит – все из участников этой затеи уже давно перешли в мир иной.

Но надо понимать, что к 1965 году и Фейнман, и Хиббс были уже очень зрелыми и многоопытными учеными. То есть не может быть никаких сомнений, что авторы книги наверняка знали о квантовом феномене Zitterbewegung или «дрожащем движении» квантовой частицы. И о том конкретном контексте, в котором этот феномен обнаружился.

На рубеже 1920-30-х годов знаменитые теоретики Герман Вейль и Эрвин Шрёдингер (работая по отдельности) проанализировали-преобразовали релятивистское уравнение Дирака и показали, что оно описывает частицу, двигающуюся по зигзаг-траектории, причем скачки туда-сюда совершаются частицей со скоростью света (а эффект массы, собственно, и возникает при перескоках).

Но ни о чем из этих вещей – очевидно сопрягающихся с «шашечной моделью» – в книге Фейнмана и Хиббса не упомянуто абсолютно никак. На четырех без малого сотнях страниц там вообще ни разу не встречаются такие слова, как Zitterbewegung или Герман Вейль. Да и само уравнение Дирака вспоминается лишь в тех ситуациях, когда надо отметить – для него интеграла по траекториям не найдено…

Короче говоря, хотя собственно сигнал о существенно другой, дискретной природе пространства- времени до нашей науки все-таки дошел – в виде шашечной модели Фейнмана, – и дошел именно тогда, когда следовало, в 1965 году, фактически никто не понял, что этот сигнал означает.

А ведь и на тот год, несложно сообразить, приходилось празднование двух больших юбилеев физической науки: 100-летия теории электромагнетизма Максвелла и полувековой годовщины ОТО Эйнштейна. Ну а публикация дискретной шашечной модели – это, в каком-то смысле, был «подарок неба» для всех ученых-физиков.

Такой подарок, который при правильном с ним обращении позволяет красиво подойти к решению всех застарелых проблем обеих теорий-юбиляров – и о природе тока смещения, и о загадке 5-го измерения с его странным скалярным полем, и вообще, о красивом геометрическом механизме для приведения всех, как их называют, «сил» природы к одному нетривиальному феномену гидродинамики…

Ну и коль скоро в 1965 году абсолютно ничего содержательного из этого подарка не извлекли, явно пора сделать еще одну попытку – полстолетия спустя. В надежде, что теперь-то уж среди новых поколений ученых найдутся люди, способные увидеть глубинный, подлинный смысл происходящего.

Дабы вечно ускользающая картина стала более ясной, полезно привлечь в структуру расследования еще двух известных ученых, имена которых никоим образом не упоминались ни на одном из всех перечисленных юбилеев. Но именно эти двое (точнее, их научные результаты) принципиально важны для всего. Для красивого разрешения проблем физики, для научного подступа к тайнам сознания и для связывания всего постигнутого в цельную единую систему.

Столь необходимая следствию пара ученых-экспертов – это математики Уильям Клиффорд и Хайнц Хопф. Есть сильное ощущение, что на самом деле это разные воплощения одной сущности, но здесь подобные взаимосвязи не принципиальны. На хронологической шкале первый из них – Клиффорд – естественным образом располагается между Максвеллом и Эйнштейном (см. годы рождения трех ученых). Ну а второй, Хопф, по аналогичной схеме между Эйнштейном и Фейнманом.

(6) Два математика: Клиффорд

Любители всевозможных примечательных совпадений часто упоминают, что в один и тот же год девятнадцатого века, 1879, произошла своеобразная «смена караула» в мире гигантов науки физики. Едва в Германии родился Альберт Эйнштейн, через несколько месяцев в Британии умер совсем еще нестарый Джеймс Клерк Максвелл…

Но очень мало кто вспоминает, что в тот же год совсем молодым умер великий английский математик и мыслитель Уильям Кингдон Клиффорд – не дожив и до 34 лет. Подлинный масштаб ученого и всю глубину трагической потери этого гения в столь раннем возрасте ни мировая наука, ни человечество в целом не сумели постичь вплоть до сегодняшних дней.

Нет никакого смысла гадать, насколько иным выглядело бы здание современной науки, проживи Клиффорд столько же, сколько Эйнштейн или лорд Кельвин. Но совершенно определенно есть смысл в том, чтобы повнимательнее приглядеться к сути проблем, которые поднимал, разрабатывал и очень успешно решал Клиффорд. Попутно нельзя не отметить, что в науке XIX и XX веков упорно пытались забыть о его работах, отыскивая любые другие пути. А затем вновь и вновь на самых разных направлениях натыкались и переоткрывали опять давно забытые клиффордовы идеи и результаты.

Это бесспорные факты, вполне признаваемые на сегодня всеми. Однако самое главное – то, что указанный Клиффордом маршрут был и остается наиболее прямым и естественным путем к истине (как наиболее адекватной научной картине мира) – вот этого никто так и не признал по сию пору…

Здесь, конечно же, совсем не место для подробного и развернутого рассказа о том, что представлял собой «путь Клиффорда». Но вкратце обрисовать его базовые идеи и разработки не просто полезно, но и необходимо для понимания нынешних раскладов в науке.

Обладая мощным даром математика, ученый очень рано, в 20-летнем возрасте понял и принял только-только появившуюся в ту пору дифференциальную геометрию Римана. И сразу начал работать над тем, как приложить к описанию природы новые знания об искривленных пространствах. В 1870, когда Клиффорду было 25, он сделал на эту тему программный доклад для лондонского научного сообщества, «на 40 с лишним лет предвосхитив Эйнштейна» (как принято упоминать данный эпизод сегодня).

Однако на самом деле клиффордова программа уже изначально была сформулирована куда более масштабно. Математик очень четко обозначил, что в той «гидродинамической» картине мира, которую он намерен выстроить, буквально все, что нам представляется реальностью и ее физикой разнообразно взаимодействующих объектов, в конечном счете оказывается «искривлениями в геометрии пространства и их перемещениями наподобие волн».

Параллельные Клиффорда. Исследуя геометрические свойства поверхностей в искривленных пространствах, математик обнаружил и описал весьма специфическую разновидность параллельных линий. Таких линий, которые по кратчайшим траекториям соединяют пары точек и постоянно находятся на равном расстоянии друг от друга, но в условиях кривизны поверхности не лежат на одной евклидовой плоскости.

Наглядным примером «клиффордовых параллелей» можно считать края ленты Мёбиуса. А важным следствием идеи оказывается специфическая поверхность, порождаемая параллелями Клиффорда (и со временем также получившая его имя). Если рассмотреть параллелограмм, образованный пересечением двух пар клиффордовых параллелей, то оказывается, что он обладает теми же геометрическими свойствами, что и параллелограмм на евклидовой плоскости. Иначе говоря, с помощью таких параллелей порождается «поверхность Клиффорда» – локально всюду плоская, однако в целом искривленная.

Тор Клиффорда. Если мыслить окружающий нас мир как пространство замкнутое, то простейшим вариантом такой формы оказывается 3D-сфера – по аналогии с 2D-сферой, образующей, упрощенно говоря, поверхность нашей планеты и прочих космических тел. В структуре же 3-сферы Уильям Клиффорд обнаружил удивительный объект – «плоский тор», позднее получивший имя математика.

Важная особенность тора Клиффорда – это его локально плоская геометрия. То есть все 3D-объекты, конструируемые на поверхности такого тора, имеют в точности те же самые геометрические свойства, что и в плоском евклидовом 3D-пространстве. И хотя в проекции на наш мир тор Клиффорда выглядит как вполне обычный тор-бублик, однако между проекцией и оригиналом есть существенное отличие.

Привычный нам тор имеет положительную (выпуклую) кривизну снаружи и отрицательную (вогнутую) кривизну поверхности внутри, вокруг отверстия. Из-за чего 2D-поверхность тора на плоскость нулевой кривизны не ложится без растяжений и сжатий. А вот 3D-поверхность тора Клиффорда можно расправить на 3D-плоскости именно так, без всяких дополнительных ухищрений. Однако в целом поверхность объекта является замкнутой…

Еще одно любопытное свойство – это эффект двуделения. Если представлять себе 3-сферу сплошным 4-мерным телом, то 3D-поверхность тора Клиффорда разделяет эту сферу на две одинаковые половины – каждая из которых тоже является сплошным тором… В нашем 3D-мире этот трюк представить себе затруднительно, однако для понимания скрытой и раздвоенной геометрии природы это весьма важный математический факт.

Алгебры Клиффорда. Наиболее важное из всех математических достижений ученого – это разработанный им аппарат геометрической алгебры, позволивший в высшей степени эффективно работать с динамическими или физическими аспектами геометрии. Оперирование векторами, вращением объектов, пространствами высоких размерностей – все эти вещи станут чрезвычайно востребованными в физике XX века, а алгебры Клиффорда окажутся самым подходящим для этого инструментарием.

Дабы совсем кратко продемонстрировать реальную мощь этого аппарата как для классической, так и для квантовой физики, обычно приводят такие примеры. Скажем, базовые соотношения теории электромагнетизма Максвелла в своем каноническом компактном оформлении выглядят как четыре разных уравнения. Ну а при их записи через аппарат клиффордовой алгебры вся эта система преобразуется к одному-единственному короткому уравнению…

Когда же в первые десятилетия XX века начали приоткрываться тайны квантовой физики, то и здесь неожиданно выяснилось, что самый подходящий математический аппарат для этого предлагает геометрическая алгебра. Ничего не знавшие о трудах Клиффорда, Поль Дирак и Вольфганг Паули изобрели нужные им фрагменты этой математики повторно еще раз. Впоследствии же, когда аппарат клиффордовых алгебр полностью реанимировали и разработали дальше, он стал важным инструментом для развития калибровочных подходов вообще и калибровочных теорий гравитации в частности.

Материя разума. И наконец, еще один, совершенно уникальный комплекс идей ученого – о физико-математических подходах к изучению природы сознания. На основе внятных и логичных умозаключений Клиффорд вывел, что если человек – как вершина эволюции – обладает сознанием, а также признаки разумной деятельности демонстрируют в той или иной степени и другие организмы природы, возникшие из неорганической материи, то зачатки разума наверняка должны быть и у неживой природы (подробности см. в тексте «Главная тайна Со-Знания»).

Иначе говоря, каждому элементарному атому материи должен соответствовать свой элементарный «атом материи разума» или Mind-stuff. И подобно тому, как физические тела людей являются материальным проявлением их сознания, так и вообще для всякого атома вещества во вселенной его «атом материи мысли» является исходным фактом или началом существования. В конечном же счете концепция Клиффорда сводилась к идее о том, что «Вся вселенная в целом состоит из материи разума»…

Математическую интерпретацию для идей вокруг Mind-stuff ученый создать не успел, поскольку все упомянутые вещи, надо подчеркнуть, были выдвинуты и разработаны Клиффордом меньше чем за десятилетие. В 1870 он сделал свой «программный доклад», а к 1878 опубликовал важнейшие работы по геометрическим алгебрам и материи разума. В тот же год здоровье Клиффорда резко ухудшилось, он буквально на глазах начал чахнуть и весной 1879 скончался – «во цвете лет» и с не очень ясным медицинским заключением…

Безвременная кончина молодого и блестяще одаренного человека – это всегда очень грустно. Но еще более печально то, что ученые-современники, при жизни Клиффорда с интересом относившиеся к его идеям и восхищавшиеся его достижениями, после смерти математика стали стремительно забывать о его наследии.

Именно поэтому, собственно, молодым Дираку и Паули для квантовой механики пришлось переизобретать клиффордов аппарат по новой – потому что в 1920-е годы о геометрических алгебрах Клиффорда никто из стариков уже не вспоминал, а в колледжах-университетах, понятное дело, это не преподавали…

(7) Два математика: Хопф

Жизнь и творчество видного германско-швейцарского математика-тополога Хайнца Хопфа (1894 – 1971) было бы весьма полезно и поучительно рассмотреть в подробностях с двух существенно разных точек зрения. Одна – чисто традиционная и сугубо научная – предоставила бы нам портрет выдающегося ученого, не только создававшего глубокие и талантливые работы, но также производившего еще и очень приятное впечатление на окружающих своим добрым нравом и мягкими-приятными манерами.

Вторая же точка зрения – куда более мистическая и неочевидная – могла бы показать нам жизненный путь Хопфа как следующее воплощение сущности, в прежней жизни известной как Уильям Кингдон Клиффорд. Великий человек, который в потенциале был способен очень на многое, тут же взялся за все дела сразу – но увы, очень быстро «сгорел на работе», толком ничего не успев доделать.

А потому в следующей жизни – уже как Хопф – этот человек мог, возможно, заранее поставить себе цель не распыляться, заниматься одним четко очерченным направлением, однако уж его-то разработать по максимуму… Ну а с остальными большими замыслами (общего великого плана) дела вызвались продвинуть не менее талантливые соратники и друзья. Залог успеха всех подобных затей, естественно, это умение вспомнить и удержать цель, с которой предпринято новое воплощение – не только ребенком, сразу после рождения сюда, но и по достижении уровня взрослого сознания.

Надежно доказать столь экзотическую «гипотезу о прогрессорах», ясное дело, сейчас нет совершенно никакой возможности. Однако, если оценивать эволюцию научных идей и комплекс достижений Хайнца Хопфа именно в таком ключе, то несложно заметить, что буквально с самого начала его математических исследований и на протяжении всей остальной – почти полувековой – творческой жизни там вполне отчетливо прослеживается разработка идей Клиффорда. Но что существенно – теперь уже как чисто абстрактных математических теорий, вообще без какой-либо их привязки к физике или, тем более, к устройству сознания.

Формулируя чуть аккуратнее, поначалу взаимосвязи между хопфовой математикой и природой мироздания все же просматривались достаточно отчетливо. Достаточно сказать, что первые самостоятельные работы Хопфа, подготовленные в середине 1920-х при подготовке диссертации, были посвящены углубленным исследованиям так называемых пространственных форм Клиффорда-Клейна.

Сам этот термин, в оригинале звучавший как Raumform, т. е. «форма пространства», появился в геометрии под влиянием идей Клиффорда о локально плоской, но глобально искривленной и замкнутой форме вселенной. После того, как в конце XIX века германский математик Феликс Клейн существенно развил это направление, все объекты с подобного рода геометрией стали обобщенно именоваться пространственными формами Клиффорда-Клейна. Ну а вместе с усложнением математики и возрастанием уровня абстрактности многие потихоньку вообще стали забывать, что сам предмет изучения возник ради постижения формы вселенной.

По этой же, вероятно, причине, когда в 1931 году Хайнц Хопф опубликовал самую главную для всей нашей истории работу [HH] – где на основе «параллелей Клиффорда» впервые открыт и описан объект, ныне известный как «нетривиальное расслоение Хопфа» – никому и в голову не пришло, что эта весьма замысловатая топологическая конструкция может иметь хоть какое-то отношение к геометрии вселенной. Не говоря уже о едином-неразрывном устройстве сознания и материи.

Сегодня, по прошествии 80 с лишним лет, ситуация с пониманием важности этого открытия стала, спору нет, чуть-чуть получше. И хотя в подавляющем большинстве своем физики по сию пору так и не в курсе, сколь исключительно выдающуюся роль играет в их науке расслоение Хопфа (в учебниках этого нет и в университетах этому не учат), однако имеются уже, по крайней мере, содержательные обзорные работы типа большой статьи австрийца Хельмута Урбантке [HU], где рассказывается о неожиданном выявлении данной структуры во множестве самых разных научных областей, прежде считавшихся мало или вообще никак друг с другом не связанных.

На сегодняшний день характерные свойства расслоения Хопфа отчетливо обнаружены в таких, к примеру, областях, как классическая электродинамика (уравнения Максвелла) и общая теория относительности (пространства Taub-NUT), калибровочные взаимодействия Янга-Миллза и уравнение Дирака в квантовой физике, теории квантовой гравитации (AdS/CFT в теории струн, твисторы Пенроуза) и теория квантовых вычислений (сфера Блоха для устройства кубита).

Если объективно оценивать весь этот поток открытий в физике последних десятилетий, то – по выражению известного математического физика Роджера Пенроуза – расслоение Хопфа уже вполне можно рассматривать как «элемент архитектуры нашего мира». Ну а дабы появилось подобающее ощущение того, насколько в действительности важен этот «элемент архитектуры» (о котором физики вообще ничего не слышали до середины 1970-х годов), пора отметить несколько любопытнейших фактов из мистики синхроний.

Как свидетельствуют исторические документы, на самом деле интересующая нас структура была открыта как в математике, так и в физике по сути дела одновременно – в топологии Хайнцем Хопфом, а в физике в том же самом 1931 году Полем Дираком, но только совершенно в другом квантовом контексте, отчего и получила среди коллег название «монополь Дирака». О том, что с математической точки зрения столь разные вещи имеют одну и ту же природу, ученым станет известно лишь много десятилетий спустя.

Но этот эпизод – на самом деле всего лишь одна из сторон в скрытой конструкции данной истории. В том же 1931 году Хопф переехал из Германии в швейцарский Цюрих, где по приглашению высшей школы ETH возглавил кафедру математики (сменив на этом посту Германа Вейля). Параллельную кафедру физики в том же ETH в ту пору уже возглавлял Вольфганг Паули (с которым Хопф близко сошелся и дружил до конца жизни). А у Вольфганга Паули как раз в это время произошло еще и близкое знакомство с Карлом Густавом Юнгом, цюрихской звездой аналитической психологии.

Между двумя этими светилами завязалась не только дружба, но и весьма неординарное научное сотрудничество. Под большим влиянием Юнга Паули стал всерьез размышлять о разработке идей для физико-математического объединения сознания и материи в единую систему. И сложись в дальнейшем обстоятельства жизни хотя бы чуть-чуть более удачно, проницательный и многознающий Вольфганг Паули практически наверняка не только увидел бы взаимосвязи между монополем Дирака и расслоением Хопфа, но и понял бы, как эта штука встраивается в его собственную теорию о «возврате души материи» – через концепцию Клиффорда о mind-stuff или «материи разума».

Но вместо этого, увы, Паули (как и Клиффорд веком ранее) скоропостижно скончался, едва подступившись к самому главному открытию своей жизни. А мир науки вновь ничего тут не узнал, хотя и время явно пришло, и все нужное для прогресса определенно уже имелось.

На сегодняшний день «всего тут нужного» имеется даже в переизбытке (коль скоро и хождение кругами приносит в науке свои полезные плоды). Однако прежде, чем начинать реконструкцию картины, представляется очень полезным хотя бы минимально подправить научную терминологию русского языка – для прояснения той мутной и невнятной атмосферы, что окружает интересующую нас замечательную структуру.

Ибо исторически не только в России, но и вообще в мире, вокруг расслоения Хопфа обстоятельства упорно складываются так, что даже люди, глубоко понимающие математику предмета, все время норовят упустить не только важность конкретно данного объекта, но и – тем более – моменты, существенные с точки зрения физики.

И вот тому всего лишь несколько характерных примеров. На страницах самого информативного в мире интернет-ресурса по истории математики, «MacTutor History of Mathematics», биографическая статья, посвященная Хайнцу Хопфу, по состоянию на весну 2016 вообще не содержит упоминания о расслоении Хопфа.

Весьма часто цитируемая ныне статья 1931 года, впервые рассказавшая об этом объекте, упоминается всеми исследователями исключительно в своем оригинальном виде на немецком языке. Из чего несложно вывести, что в переводе на английский (или русский, тем более), этот материал в природе не существует. Аналогично, на планете до сих пор не появилось и ни одной научно-биографической книги, посвященной выдающемуся топологу XX века Хайнцу Хопфу (тут зеркально повторяется история с Клиффордом).

И наконец, авторитетный и один из самых свежих на сегодня справочников по математике, The Princeton Companion to Mathematics (2008), при объеме свыше 1000 страниц не только не имеет статьи, посвященной Хайнцу Хопфу, но и в гигантском перечне охваченных тем (индексе) не имеет строки Hopf fibration или Hopf bundle.

Читатели научно-мистического детектива уже должны понимать, что это интересное безобразие несет на себе характерные признаки искусственного подавления информации. А значит, ситуацию очевидно пора исправлять.

(8) Внятно о не-тривиальном

Для того, чтобы изложение предмета было понятным, прежде всего нужна ясная и внятная терминология. Но именно для предмета «расслоение Хопфа», к сожалению, в русскоязычной науке сейчас такой терминологии нет. Ибо всю картину сразу мутит и запутывает в принципе неудачный выбор слова «расслоение» для перевода английского «fibration» или немецкого «Faserung». Корень этого термина (fibre, Faser) имеет смысл «волокно, нить, фибра». Но никак не «слой».

Нашим инженерам, когда они переводили родственное понятие «fiber-optics», хватило здравого смысла назвать это «волоконная оптика». Почему такого же здравого смысла не хватило математикам, мы уже, наверное, и не узнаем. Но факты таковы, что ученые-физики переняли терминологию у математиков, а не у инженеров. По этой причине жгут или охапку волокон с определенными свойствами на английском языке естественно называть «fiber bundle», а вот в русской научной литературе и это тоже именуют «расслоение».

Почувствовать разницу данного несоответствия в нашем случае совершенно необходимо, потому что в реконструируемой здесь природе реальности выявляется как пачка «горизонтальных» плоских слоев (или «срезов реальности» в каждый отдельный момент времени), для чего термин «расслоение» представляется совершенно естественным выбором. А также есть тут еще и нитевидные «фибры» или волокна памяти, тянущиеся во времени за каждой частицей и регистрирующие их «персональную историю».

Несложно, наверное, понять, что волокна-фибры от множества частиц, образующих тот или иной физический объект, сплетаются в жгут или «фибер-косу», которая фактически представляет собой конкретную реализацию для абстрактно-математической траектории объекта в пространстве-времени. А чтобы людям, далеким от научных сфер, стало понятнее, насколько естественной и практически самоочевидной эта картина является для современных ученых, достаточно привести такие поясняющие иллюстрации из недавней статьи под названием «Жизнь – это коса в пространстве-времени» («Life Is a Braid in Spacetime», by Max Tegmark, Nautil.us, October 1, 2015).

Данная статья написана для широкой публики известным физиком-космологом Максом Тегмарком, который ныне, что нельзя не отметить, интенсивно разрабатывает собственную модель для математического объединения сознания и материи – наряду с упомянутым выше Роджером Пенроузом, (подробности см. в тексте «Главная тайна Со-Знания»). Ну а в данной его статье – про «жизнь как косу» – вполне наглядно разъясняется суть различий между «фибрацией» и «расслоением» (хотя сам Тегмарк использовал эти картинки совсем с другими, собственными целями).

На двух левых картинках можно видеть жгуты-фибрации для объектов неживой и живой природы – как косы-траектории во времени, имеющие простую и сложную структуру. Две правые картинки, соответственно, также изображают эволюцию системы во времени, но только теперь как пачку горизонтальных слоев или «снимков» реальности в последовательные моменты жизни.

Поскольку разница между «фибрами» и «слоями» здесь видна предельно наглядно, далее существенно разные термины «фибрация» и «расслоение» будут использоваться предпочтительно в этих смыслах, уже без дополнительных разъяснений.

Полезная наглядность приведенных иллюстраций заключается еще вот в чем. Во-первых они хорошо отображают идею о том что фибры в своем общем направлении сориентированы по оси времени и как бы «прошивают» многослойную структуру срезов реальности, проходя поперек слоев. Ну а во-вторых, как все фибры, так и все слои изображены здесь сугубо своими фрагментами или «локально» – без каких-либо намеков на то, что за форму имеет вся структура в целом, т. е. «глобально».

Именно с этим вопросом мы сейчас и будем разбираться с помощью Уильяма Клиффорда и Хайнца Хопфа.

В основу геометрических построений Клиффорда была положена идея о замкнутости формы для пространства вселенной – просто из соображений здравого смысла (никто не способен сформулировать хоть что-либо внятное о том, как может выглядеть «крайняя граница» мироздания). Если математически развивать эту идею для локально плоских, но глобально замкнутых пространств, то прямые линии при такой геометрии оказываются также линиями замкнутыми. А «параллельные Клиффорда», соответственно, в искривленном пространстве смещаются относительно друг друга таким образом, что как бы закручивают ленту поверхности между ними в форму винтовой спирали.

Когда Хайнц Хопф через полвека после Клиффорда занялся углубленным анализом и классификацией пространственных форм подобного рода, то результатом его исследований, среди прочего, стали две тесно взаимосвязанных «нетривиальных» конструкции, представляющие для нашего расследования особый интерес.

Конструкция первая со временем получила в топологии имя зацепление Хопфа (Hopf link) и в определенном смысле является частным случаем параллелей Клиффорда. При отображении объемной фигуры на плоскость трудно ухватить «параллельность» линий, но зато хорошо видно, что в данном частном случае замкнутые линии являются окружностями. (Полезно добавить, что в таком виде любители «эзотерического» наверняка разглядят здесь фигуру, прекрасно знакомую с древности всем мистикам планеты. В старинном ордене – или секте – Бузан-ха буддийской школы Сингон-Сю, к примеру, использовали данный символ в качестве своего герба. Ну а то, что данная конфигурация в прочих мистических контекстах и регионах именуется Vesica Piscis, уже упоминалось неоднократно.)

Дабы роль и место зацепления Хопфа обозначились отчетливее, полезно иметь представление о тривиальных и нетривиальных узлах. Если узлом в математике называют одну или несколько переплетенных линий, то самый простой – тривиальный – вариант «узла» выглядит просто как окружность и носит название «разузление» (unknot). Соответственно, простейший нетривиальный вариант узла (никак не сводимый к разузлению) выглядит как две зацепленные друг за друга окружности. Иначе говоря «зацепление Хопфа» – это элементарный нетривиальный узел.

Для того, чтобы стала понятнее суть второй конструкции, именуемой «нетривиальная фибрация Хопфа», надо пояснить, что понимают под фибрацией тривиальной и как определяют, соответственно, базу фибрации. Самый простой бытовой пример фибрации – это, скажем, покрытая волосами голова человека (тогда «базой», из которой растут фибры волос, является поверхность головы). Для нас, однако, куда более содержательным примером является конфигурация топологической лестницы – то есть две длинные направляющие, соединенные множеством перекладин-перемычек.

Если рассматривать обычную твердую лестницу, то здесь фибрами можно считать параллельные перекладины, а любую из направляющих – базой тривиальной фибрации. Если заинтересоваться топологическими свойствами лестницы в искривленном пространстве и, считая ее резиновой, как это принято в топологии, замкнуть начала и концы направляющих, то ничего особенного не произойдет – фибрация останется тривиальной.

Но вот если замыкание устроить с некоторым фокусом, через полуоборот сделав из двух направляющих одну и сконструировав таким образом «лестницу Мёбиуса», то получится уже совсем другая конфигурация базы, нетривиальная. Пользуясь резиновыми свойствами такой лестницы, ее теперь можно растянуть до формы окружности, но только перемычки, прежде все бывшие параллельными, теперь оказываются наложены друг на друга в виде узла. Отчего и вся структура именуется в топологии «нетривиальной фибрацией окружности».

(В традициях индуизма и буддизма, где древние мистики приобщили эту конфигурацию в свои учения как символ основ мироздания, принято несколько другое название – «Дхармачакра», то есть «колесо закона».)

И наконец, чтобы стало ясно, каким образом эти нетривиальные вещи фигурируют в собственно фибрации Хопфа, осталось обратиться к фундаментально важной работе ученого, впервые этот объект открывшей для математиков, опубликованной в 1931 году и носившей название «Об отображениях трехмерной сферы на сферическую поверхность».

Отказавшись ради доступности от строгих математических формулировок, можно сказать, что Хопф занимался проблемой о том, каким образом структура трехмерного мира, замкнутого в сферическое пространство, может соотноситься с куда более доступной нашему восприятию формой – двумерной поверхностью обычного шара.

И вот, когда Хопф в своих исследованиях поделил «сферу глобуса» на окружности параллелей, чтобы посмотреть, какой прообраз каждая из точек отдельной параллели может иметь в пространстве 3-мерной сферы, то обнаружилась в высшей степени замечательная вещь. Выяснилось, что прообразом каждой точки является окружность, причем любая пара таких окружностей является параллельными Клиффорда, совокупно образующими тор. Или иначе, все эти окружности зацеплены друг за друга, образуя нетривиальную фибрацию базовой окружности (или «нетривиальное расслоение», пользуясь общепринятой терминологией).

Поскольку каждая базовая окружность на 2-сфере порождает свой собственный тор, размер которого все время увеличивается (или уменьшается, если двигаться обратно) при смещении от одного полюса сферы к другому, то получается так, что 3-сфера прообраза сформирована как комплекс вложенных друг в друга торов. Каждый из которых состоит из окружностей, зацепленных так, что любое фибер-кольцо по одному разу сцеплено абсолютно со всеми остальными фибрами – не только в своем торе, но и с кольцами всех прочих торов. Воистину нетривиальная фибрация, можно сказать…

Сегодня никто не в силах, ясное дело, содержательно оценить, насколько другой стала бы физико-математическая наука, если бы в 1930-е годы физики и математики повнимательнее относились к открытиям друг друга. Благодаря чему сразу бы (а не 40 лет спустя) удалось заметить, что Хайнц Хопф и Поль Дирак со своим магнитным монополем (формально объяснившим квантование электрического заряда) на самом деле одновременно обнаружили одно и то же. Но только в совершенно разных – как всем тогда казалось – областях науки.

Самое же тут удивительное, что даже сегодня – когда ученые уже давно и отлично знают «про одно и то же» – наука все еще так и не сумела это знание переварить. А потому и до сих пор никто понятия не имеет, какого рода грандиозные следствия из этого совпадения вытекают…

(9) Чудеса Раньяды

Среди множества самых разных областей физики, в которых ныне выявляется фибрация Хопфа, есть одна довольно особенная, о которой надо рассказать отдельно и чуть подробнее. Во-первых, потому что известно об этом открытии уже довольно давно. А во-вторых, упомянутый выше обзор Хельмута Урбантке [HU], осветивший практически все «области вторжения» Хопфа в физику, известные на 2003 год, именно об этом направлении почему-то не упоминает ни словом. Хотя определенно следовало бы.

На протяжении вот уже более четверти века испанский теоретик Антонио Раньяда настойчиво развивает собственную модель «топологического электромагнетизма», как он это именует, впервые предложенную научному сообществу в трех статьях автора, опубликованных с 1989 по 1992 год. В основу модели положено существенно новое решение для уравнений Максвелла, благодаря которому обнаружились явные, любопытные и интригующие аналогии между структурой фибрации Хопфа и физикой классического электромагнетизма.

За прошедшее время самим Раньядой и его испанскими коллегами, помогающими развивать данное направление, было написано около дюжины статей, углубляющих теоретическую сторону открытия. Однако почти два десятка лет, вплоть до 2008 года, об этих вещах мало кто знал, кроме специалистов, да и те обычно расценивали исследование как маргинальное, никому не нужное копошение в антикварной классике, интересной лишь для нескольких чудаков.

Ситуация с интересом коллег существенно изменилась в 2008 после того, как в журнале Nature Physics двое уже известных на тот момент ученых-физиков, голландец Дирк Боумистер и американец Уильям Ирвин, опубликовали весьма резонансную работу под названием «Сцепленные и завязанные узлом пучки света» [IB]. Эта статья не только привлекла внимание сообщества к неожиданным и трудно объяснимым теоретическим взаимосвязям, но и сделала вполне конкретные (ныне давно подтвержденные) реальные предложения по экспериментальным проверкам феномена с помощью плотно сфокусированного лазерного луча.

Причем в первых же строках статьи Ирвина и Боумистера были ёмко сформулированы не только истоки их работы, но и широко открывающиеся перспективы:

«Уравнения Максвелла допускают любопытные решения, характеризуемые тем свойством, что все линии электрического и магнитного полей являются замкнутыми петлями, причем любые две электрические или магнитные линии являются зацепленными. Эти малоизвестные решения, сконструированные Раньядой, основаны на структуре фибрации Хопфа.

[… на основе аналитического исследования и экспериментальной проверки решений] Мы предсказываем множество теоретических расширений и потенциальных приложений открытия в обширных областях, простирающихся от динамики жидкостей, топологических оптических солитонов и ловушек для частиц до физики холодных атомных газов и конфайнмента плазмы».

По состоянию на сегодняшний день в данной области отмечается устойчиво нарастающее количество работ и публикаций, самый свежий пример чему предоставляет и размещенная в самом начале данного эпизода иллюстрация – стабильный солитон-хопфион, порожденный экспериментаторами в конденсате Бозе-Эйнштейна.

Антонио Раньяда тем временем продолжает с соратниками свои теоретические исследования, наиболее содержательное обобщение которых можно найти в его недавней совместной с Альфредо Тьембло статье 2014 года «Топологическая структура в наборе классических электромагнитных полей» [RT].

Дабы особо подчеркнуть необычность выявляемых здесь взаимосвязей, авторы сразу подчеркивают обстоятельства, из-за которых сама идея об аналогиях между работами Хопфа и Максвелла на первый взгляд может показаться чрезвычайно странной. Ведь в самом деле, уравнения Максвелла оперируют бесконечным множеством свободных электромагнитных полей, поведение которых зависит от времени. С другой же стороны, в геометрических структурах Хопфа такая концепция, как время, не присутствует вообще никак…

Это несоответствие, однако, обескураживает лишь на первый взгляд. При более тщательном рассмотрении, как показывают авторы, в конструкции Хопфа на самом деле имеются параметры (известные как «инвариант Хопфа» или «индекс Хопфа»), опираясь на которые вполне можно получить аналоги для значений времени в эволюции системы.

Развивая выявленные аналогии в различных направлениях, исследователи во множестве обнаруживают самые разнообразные удивительные последствия и математические сюрпризы. Среди особо примечательных, к примеру, отмечается, что если в терминах структуры Хопфа уравнения движения являются сложными и высоко нелинейными, то при надлежащих математических преобразованиях удается сводить их к простым линейным уравнениям Максвелла для электрического и магнитного полей (причем, надо подчеркнуть, речь идет о преобразованиях точных, без каких-либо отбрасываний членов).

Для целей нашего расследования, однако, самым важным и значительным из математических сюрпризов, открытых здесь Раньядой, оказывается «чудесное превращение» непрерывной модели в дискретную – когда энергия системы оказывается квантованной, а топология структуры, соответственно, отчетливо дискретной.

Чтобы это волшебство могли почувствовать все, надо напомнить два факта. Во-первых, система максвелловых уравнений описывает физику электромагнетизма в условиях сугубо традиционных предположений о непрерывности пространства и времени. Во-вторых, геометрия фибрации Хопфа выстраивалась совершенно аналогично – в терминах непрерывных отображений для непрерывных пространств. Ну а в итоговой модели – при аккуратном сопоставлении математики Хопфа и физики Максвелла – вдруг выясняется, что энергия и пространство-время оказываются дискретными…

И сам крайне впечатленный столь неожиданным результатом, Раньяда для финала статьи специально отыскал и процитировал давнее наблюдение-предсказание на этот счет от Майкла Атьи, одного из наиболее выдающихся математиков второй половины XX века [MA]:

«Как квантовая физика, так и топология ведут нас от непрерывного к дискретному».

Но хотя суть этой идеи понимается и принимается в науке очень многими, по сию пору остается совершенно неясным собственно механизм происходящего. Иначе говоря, ученым никак не удается выявить и ухватить в картине именно то место, где дискретная по сути природа делает свой хитрый фокус и для нас представляется непрерывной.

Выражаясь чуть точнее, ученым лишь кажется, что ухватить это никак не удается. Но если взглянуть на ситуацию с другой стороны, то все тут оказывается уже в общем-то постигнуто, причем довольно давно.

(10) Всего две точки…

В достопамятном августе 2015, когда расследование Sci-Myst вовсю занималось свежими кругами на полях и их взаимосвязями с тайнами темной материи в слоях мультиверса (см Sci-Myst#8), на веб-сайте знаменитого журнала Scientific American промелькнула одна довольно любопытная публикация. Интересным в ней было не столько содержание (о вещах, общеизвестных для математиков и довольно скучных для обывателей), сколько картинки и – самое главное – ОТСУТСТВИЕ в статье того, о чем рассказать или хотя бы упомянуть было бы совершенно естественно.

Иначе говоря, проскочил эдакий мимолетный сигнал о срабатывании уже знакомой и исследованной ранее схемы умолчания, проявлявшейся в связи с объектом «додекаэдр» (Sci-Myst#4). Ну а всякий раз, когда в научных или научно-популярных текстах проявляется нечто, смутно похожее на табу, мистическому следствию имеет смысл обострить бдительность – и чуть поглубже заинтересоваться предметом…

Конкретно в данном случае статья носила название «Линия с двумя началами» (The Line with 2 Origins. SciAm Blogs, August 31, 2015 ), а для нас она интересна по причине тонких взаимоотношений между дискретным и непрерывным.

В основе идеи о непрерывности пространства (если излагать упрощенно), лежит понятие отделимости – как возможности окружить любые две точки такими окрестностями, которые не пересекаются друг с другом. В честь математика Феликса Хаусдорфа, начавшего углубленно изучать эту концепцию, подобные пространства именуют хаусдорфовыми. И вообще говоря, практически все знакомые людям по жизни объекты являются именно такими.

Но строгий формализм математики допускает существование и других объектов – нехаусдорфовых. Так вот, простейшими примерами пространств такого рода являются два очевидно сопрягающихся друг с другом объекта – именуемые «линия с двумя началами» и «связное двоеточие». Рассказывать про один из них (линию) и ни словом не упомянуть другой (двоеточие) – это уже довольно странно. А если поинтересоваться проигнорированным двоеточием чуть-чуть повнимательнее, то обнаруживается еще и прелюбопытная ситуация с терминологией.

Заглянув для начала в Википедию, можно заметить, что практически на всех языках этой всепланетной энциклопедии данный объект именуется «пространство Серпинского» – в честь описавшего его выдающегося польского математика Вацлава Серпинского. Но при этом в самой Польше (где Серпинский родился, работал и умер) то же самое называют иначе – «двоеточие Александрова», в честь знаменитого русского-советского тополога Павла С. Александрова. И наконец, только в русскоязычном сегменте Википедии соответствующая статья озаглавлена не именами независимых первооткрывателей, а на основе сути объекта: «Связное двоеточие».

Сама по себе столь занятная неопределенность с терминологией еще ни о чем не говорит, ясное дело. В мире науки полно и куда более странных вещей. Но вся соль выявленной аномалии в том, что именно вот этот конкретный объект топологии – связное двоеточие – оказывается принципиально важным ключом для успеха расследования Sci-Myst. А значит, определенно есть смысл рассказать, что это вообще такое – в наглядной-популярной форме и с помощью картинок сайта Scientific American, объясняющих суть «линии с двумя началами».

Начать надо с того, что на самом деле адекватно изобразить эти геометрический объекты на бумаге невозможно в принципе (что есть строго доказуемый математический факт). Поэтому приведенные здесь картинки – это своего рода разные проекции, поясняющие суть объектов с нескольких сторон.

Иллюстрация (а) означает, что на непрерывной линии есть точка, которая в действительности состоит из двух неразрывных и существенно разных по своим свойствам точек. Картинка (b) означает, что две эти связанные точки находятся как бы на разных прямых, но только надо представлять, что две прямые склеены в одну. Наконец, иллюстрация (c) поясняет ту идею, что хотя точек определенно две, надо считать, что они занимают строго одно и то же место на прямой, причем одна часть двоеточия – это «просто замкнутая точка» (и больше ничего), а другая часть – «точка открытая» (точка с окрестностью, куда можно помещать и другие точки).

Глядя на эту конструкцию с чисто математической точки зрения, можно сказать, что связное двоеточие – это самый простой пример топологического пространства, которое не является ни тривиально-непрерывным (когда между любыми двумя точками пространства можно поместить и другие), ни дискретным (состоящим из строго отдельных точек). Иначе говоря, теперь должно быть понятно, почему для математиков связное двоеточие – это простейший пример нехаусдорфова пространства.

А вот если посмотреть на то же самое еще и с точки зрения физики, то можно увидеть куда больше.

Например, можно сказать, что связное двоеточие – это своего рода математическая аналогия для состояния квантовой суперпозиции двух принципиально разных «физических состояний» точки – открытого и замкнутого. Аналогично, несложно увидеть, что открытая и замкнутая точки – это представление двух противоположных фаз осциллона, именуемых кратер и пик. Ну а в терминах осциллона Бьеркнеса для раздвоенного пространства, соответственно, получаются два оконечных состояния перемычки – протон и электрон.

Если же, наконец, взглянуть на эту картину с детективной мистическо-исторической точки зрения, то нельзя не заметить и такие факты. Советский математик Павел Александров и германский тополог Хайнц Хопф были не просто хорошо знакомы друг с другом, но и на протяжении многих десятилетий их связывала близкая дружба. Более того, на рубеже 1920-30-х годов они даже начали большую совместную работу – вот только бури политических потрясений раскидали математиков по разным странам и надолго лишили контактов.

Ученые познакомились и сошлись в Германии еще в 1920-е, когда границы были открыты и международный научный обмен был совершенно обычным делом. Чуть позже Александров и Хопф по приглашению американцев около года вместе работали в Принстоне, где и задумали написать большой 3-томный курс общей топологии. Ну а затем в Германии и СССР пришли к власти два известных всем упыря, широкие научные контакты между странами начали резко сворачиваться с середины 1930-х годов, а после второй мировой войны уже вся наука, особенно физика, из-за культа секретности стала совершенно другой.

Короче говоря, до войны Хопф и Александров свой совместный труд написать не успели (вышел лишь первый том в 1935), а после войны всем уже было не до этого. Но вот если здесь и сейчас опять совместить исследования математиков того более свободного и открытого времени, и поместить – словно ключ – «связное двоеточие Александрова» в структуру базы для «нетривиальной фибрации Хопфа», то можно обнаружить потрясающие вещи. Целый кладезь открытий для науки физики. Да и для математики тоже…

В частности, открывается то, как электромагнетизм Максвелла через осцилляции Бьеркнеса (или «тока смещения») становится квантовой электродинамикой, а дискретно порождаемые и испускаемые при этом солитоны излучения формируют непрерывную ткань 3D-поверхности в структуре пространства-времени.

Как эти же синхронные осцилляции ткани порождают «секретные принципы Паули»: топологическое раздвоение в структуре поверхности пространства с одновременным уменьшением симметрии. Из-за чего один и тот же в условиях 5-мерной геометрии феномен гидродинамики в своих разных проекциях для нас представляется и различными квантовыми взаимодействиями, и классической гравитацией.

Становится ясно, как на самом деле должна выглядеть дискретная «шашечная модель» Фейнмана в условиях большего числа измерений. Благодаря чему попутно проясняется, что означает открытие Атьи и Зингера, в 1960-е годы обнаруживших в основах чистой математики уравнение Дирака, объединяющее квантовую физику и теорию относительности (см. Sci-Myst#7).

Ну и наконец, физические подходы к структуре фибрации Хопфа помогают обрести по меньшей мере первичное научное представление о природе устройства «материи разума», как назвал это Клиффорд. В частности, становится яснее, какое место во всей этой физике-математике занимает единое голографическое сознание вселенной.

Разбору всех этих пунктов – аккуратно по списку – и будет посвящена финальная часть расследования Sci-Myst. С опорой, как обычно, на картинки и публикации в текущих новостях науки и техники.

(Продолжение следует)

#

# Ссылки #

[HH] H. Hopf, “Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Math. Annalen 104 (1931)

[HR] D. S. Hall, M. W. Ray, K. Tiurev, E. Ruokokoski, A. H. Gheorghe, and M. Mottonen. «Tying Quantum Knots». arXiv:1512.08981, 30 Dec 2015

[HU] H.K. Urbantke. “The Hopf fibration — seven times in physics”. Journal of Geometry and Physics 46 (2003) 125–150

[IB] W. T. Irvine and D. Bouwmeester, “Linked and knotted beams of light”, Nature Physics, vol 4., 716-720 (2008)

[MA] M. Atiyah, “Geometry, topology and physics”, Q. J. Roy. Astron. Soc. 29, 287-299 (1988), p 287. Also see M. Atiyah, “The Geometry and Physics of Knots”, Cambridge Univ. Press, 1990.

[RT] A. F. Ranada and A. Tiemblo. “A Topological Structure in the Set of Classical Free Radiation Electromagnetic Fields”. arXiv:1407.8145v1 [physics.class-ph] 29 Jul 2014