Простые ответы для трудных вопросов: Форма пространства

Глубоко внутри у каждого человека есть базовые знания о том, как устроен мир. По некоторым причинам общество и традиции постоянно мешают тому, чтобы мы эти знания вспомнили. Не факт, что это правильно…

В последних числах октября один из лучших в интернете сайтов о новостях передовой науки, онлайн-журнал Quanta Magazine, опубликовал большущий и в высшей степени показательный материал о последних достижениях физиков-теоретиков (The Most Famous Paradox in Physics Nears Its End. Quanta Magazine, October 29, 2020 ).

Публикация в целом посвящена знаменитейшей из загадок теоретической науки – информационному парадоксу чёрных дыр. Особое же внимание рассказчика сфокусировано на том, как ныне наиболее проницательным из учёных через постижение математических свойств этих странных объектов – чёрных дыр космоса – удаётся сводить в единую согласованную картину пространство и материю, квантовую физику и гравитацию, информацию и эволюцию вселенной.

Есть там у теоретиков уже почти всё, короче, – кроме одного-единственного. И вот именно в этом единственном как раз и сконцентрирована «высшая степень показательности» данного научно-популярного обзора…

Наиболее ёмко и доходчиво, пожалуй, этот важнейший аспект сформулирован на той же веб-странице, где опубликована статья. Но только не собственно в её тексте, а в нижеследующем подразделе для обсуждения и комментариев читателей. Где один из комментаторов подытожил суть в таких выражениях:

Ни единого слова о том мире, что мы видим вокруг. Ни единого упоминания, к примеру, о тех или иных новых формулах, которые в точности описывали бы тот или иной снимок окружающей нас вселенной. Постоянно повторяющиеся на разные лады признания учёных в том, что «и здесь ответа мы не знаем». Воистину чудный пример тех выдающихся глубин, на которые способно нырять человеческое воображение. Ну а в результате – вместо плоского как океан пространства – мы обрели плоскую вселенную в виде одной ломаной линии. Вот это да!

Та самая «Ломаная линия Пэйджа», которую мы обрели благодаря достижениям теоретиков…

Сразу же надо оговориться, что столь нелицеприятные слова оценки звучат ощутимым диссонансом со всеми прочими комментариями. Традиционно восхваляющими статью и её автора за обстоятельный и доходчивый для простых смертных рассказ о таких эзотерических достижениях науки, в которых, если по-честному, практически никто и ничего не понимает.

Простая и неоспоримая правда жизни такова, однако, что самый строгий из комментаторов прав тут по сути дела во всём. В независимости от того, понимает это широкая публика или нет, сами учёные-теоретики, разрабатывающие данную область науки, прекрасно и отчётливо осознают, что у них нет ни малейших представлений о том, как же пристёгивать богатую и содержательную математику их открытий к тому реальному миру, который нас окружает.

Ибо вселенная наша, фактически, существует совершенно отдельно от той абстрактно-математической вселенной, которую плодотворно и вроде бы как успешно – в терминах формальной согласованности картины – осваивают теоретики фундаментальной физики.

Понятно, что так быть не должно. Но именно так оно, к сожалению, тут есть. Причём довольно давно. Информационному парадоксу чёрных дыр, к примеру, считай уже полвека. И хотя принято считать, что никто не знает, как исправлять столь грустную ситуацию с полным отрывом теории от реальности, на самом деле это совершенно не так.

Очень многие из грамотных учёных наверняка знают, как это лечится. Но знают, так сказать, лишь на подсознательном уровне. Потому что на уровне сознания активно-бытового любые шаги по оздоровлению и наведению ясности тут отчётливо означают посягательство на догмы, условности и прочие священные традиции храма науки. Неизбежный конец научной карьеры это означает, короче говоря.

И судя по сильно затянувшемуся научному кризису, психологический барьер оказывается здесь настолько мощным, что самостоятельно преодолеть его сообщество учёных уже просто не в состоянии.

Но есть тут, однако, один оригинальный и по-детски наивный способ помочь. Способ, подсказанный психологией, нейрофизиологией и сюжетом из раннего периода в истории науки…

#

В XVII веке, когда здание современной науки лишь только начинало обретать свой мощный математический фундамент, одним из первых его зодчих довелось стать и Блезу Паскалю. Гениальному французскому мыслителю с выдающимися достижениями как в математике или физике, так и в литературно-философском творчестве.

В детские годы у этого гения имел место один примечательный эпизод, который непременно упоминают практически во всех биографических очерках. Отец мальчика, Этьен Паскаль, был весьма образованным для той эпохи человеком, поэтому обучением собственных детей он занимался сам в домашних условиях. Как следствие, в возрасте 12 лет весьма смышлёный Блез практически ничего ещё не знал об арифметике и геометрии, ибо строгая методика отца подразумевала для этого периода обучения лишь занятия французской словесностью, латынью и древнегреческим.

Не по годам разумного мальчика, однако, сильно интересовало всё неведомое. Поэтому однажды, в очередной раз услышав в разговоре взрослых незнакомое слово «геометрия», он стал допытываться у отца, что же это такое. И получил в ответ краткое пояснение примерно в таком духе, что геометрия – это знания о том, как правильно чертить фигуры и отыскивать соотношения между ними или их элементами.

Даже столь краткого ответа оказалось достаточно, чтобы запустить в сознании Блеза Паскаля мощный процесс исследований. Результатом которых стало самостоятельное переоткрытие (или, можно сказать, вспоминание) ребёнком чуть ли не всех базовых результатов евклидовой геометрии. И как-то раз, когда ничего не ведавший о том папа случайно застал сына за увлечённым черчением углём на полу фигур для решения очередной геометрической задачи, вдруг выяснилось, что Блез уже дошёл до доказательства 32-й теоремы из «Начал» Евклида – о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам…

Мальчик, правда, абсолютно не владел общепринятой геометрической терминологией, поэтому объяснил изумлённому отцу свои богатые результаты в тех словах, которые были ему привычны и понятны. Окружности Блез именовал «кольцами», а прямые «палками»…

#

Палки и кольца Паскаля, что довольно сложно не заметить, по своей геометрической форме очевидно похожи на символы единицы и нуля в арифметике. Это интересное совпадение можно, конечно, проигнорировать, сочтя его чисто случайным. Но тогда будут полностью упущены очень важные и чрезвычайно глубокие взаимосвязи, объединяющие в недрах нашего сознания начала арифметики и геометрии в целостный комплекс знаний о мире и его математике.

Подобно тому, как все результаты геометрии выводятся «с помощью циркуля и линейки», все результаты арифметики можно вывести с помощью «нулей и единиц». О том, что между геометрическими фигурами и числами имеются очень глубокие – иногда говорят «сакральные» – взаимосвязи, прекрасно знали ещё во времена Древнего Египта и Пифагора.

Трудно сказать, насколько отчётливо в столь давней древности понималось, что 0 и 1 – «кольцо и палка» – это в некотором глубоком смысле одно и то же, только в разных проекциях. Но совершенно определённо можно утверждать, что ныне эта идея не только хорошо наукой освоена, но и заложена – как концепция «кубита» – в фундамент обширнейшей дисциплины под названием «квантовые вычисления».

Также вполне определённо – но уже в областях психологии и нейрофизиологии – ныне установлено, что «нуль и один» – это совершенно особенные символы. Которые и хранятся, и обрабатываются человеческим сознанием в корне иначе, нежели все остальные цифры и числа. Даже в крайних патологических ситуациях, когда люди полностью утрачивают способности к восприятию любых других цифр, они по-прежнему способны понимать смысл нуля и единицы. Смысл «колец и палок» маленького Паскаля, иными словами…

#

Концепция «разных проекций одного и того же» по сути идеально подходит не только для освоения области квантовых вычислений, но и для постижения математического устройства вселенной в целом. По каким-то очень мутным и неясным причинам в науке до сих пор общепринято заявлять, будто мир может быть устроен «либо так, либо вот так, либо вот эдак…» – перебирая равно непротиворечивые, однако плохо стыкующиеся друг с другом варианты.

Иначе говоря, имеется общая и очень устойчивая тенденция искать подтверждения какому-нибудь одному из конкурирующих объяснений. Почти никак не фокусируясь на том, что в действительности формально непротиворечивая математика альтернатив может указывать нам на разные проекции одного и того же. А потому куда важнее искать это самое «одно» – цельное и самосогласованное со всех сторон – нежели спорить о том, какая из проекций «наиболее правильная».

Среди множества примеров того, что за беда происходит тут с наукой, особо ярко и показательно выглядят рассуждения и теории мудрецов о возможной форме пространства вселенной.

Как все, наверное, знают, наука наша до сих пор не может с уверенностью утверждать, какую геометрическую форму имеет космос. Ибо в теории известны три равно непротиворечивых формы геометрии – плоская евклидова (нулевая кривизна, сумма углов треугольника 180 градусов), искривлённая гиперболическая (отрицательная кривизна, сумма углов меньше двух прямых углов) и искривлённая сферическая (положительная кривизна, сумма больше 180).

Астрономические наблюдения учёных – то есть эксперименты – убедительно свидетельствуют, что глобальная кривизна пространства вселенной неотличима от нулевой. Иначе говоря, в целом космос выглядит для нас плоским, словно лист бумаги на столе. Но при этом у нашей науки нет ни одной приличной теории, которая была бы способна внятно сей научный факт объяснить.

Потому что все лучшие теории космологов и прочих физиков-теоретиков с математической необходимостью сходятся к тому, что кривизна пространства вселенной непременно должна быть ненулевой… Среди же великого множества разных теорий на данный счёт совершенно особенное место занимает так называемое AdS/CFT-соответствие, о важной роли которого немало рассказано и в той обзорной статье Quanta Magazine, что упомянута в самом начале.

Если предельно кратко, то пространство анти-де-Ситтера (AdS) имеет «вогнутую» гиперболическую геометрию и гравитационную физику взаимодействий, аналогичную нашей. А пространство конформной теории поля (CFT) имеет «выпуклую» положительную кривизну и примерно такую же квантовую физику, как мир наш. Но только без гравитации, что существенно. Самое же примечательное, что два этих мира с сильно разной физикой и геометрией находятся в удивительном – дуальном – соответствии друг с другом. Когда всякое сильное физическое взаимодействие мира CFT, к примеру, можно очень точно переформулировать в терминах и уравнениях слабого гравитационного взаимодействия AdS. А можно, соответственно, и наоборот, перевести физику из AdS в CFT.

В целом же такая математика соответствий отчётливо показывает, что два столь разных мира – это две разные проекции одного и того же. И если бы удалось увидеть, как же в это самое «одно» вписывается ещё и наш мир – тогда бы у творцов научной картины мироздания наступил великий праздник постижения. Но абсолютно никто почему-то не желает увидеть тут готовый ответ. Хотя он давным-давно, по сути изначально лежит у всех на виду.

Причём тот факт, что ответ этот правильный, можно объяснить даже ребёнку в возрасте маленького Блеза Паскаля, впервые открывшего для себя геометрию. Потому что для первичного объяснения тут вполне достаточно «палок и колец»…

#

Итак, представим, что перед нами на столе лежит плоский лист бумаги. Если свернуть его в цилиндр, склеив противоположные края, то легко получим целостное объединение окружностей и прямых. Такую форму, иными словами, которая в одной проекции выглядит как прямоугольник, собранный из отрезков прямых, а в проекции другой – как окружность.

Для того, чтобы пояснить, как здесь появляется ещё и гипербола, обеспечивающая отрицательную кривизну, понадобится проделать следующий фокус. Представим себе, что теперь цилиндрическая труба состоит не из сплошного листа, а собрана из нитей, натянутых параллельно друг другу между краевыми кольцами цилиндра. Такого рода нити в геометрии принято именовать фибрами, а собранную из них конструкцию, соответственно, фибрацией.

Если в такой конструкции одно краевое кольцо – или «базу фибрации» – повернуть относительно другого, то происходит маленькое математическое чудо. По-прежнему собранная из отрезков прямых, поверхность цилиндра превращается в гиперболическую поверхность отрицательной кривизны. А вся форма в целом, теперь именуемая «линейчатый гиперболоид», в своих проекциях-сечениях имеет, соответственно, и параллельные либо пересекающиеся прямые, и окружности / эллипсы, и гиперболы / параболы. Полный комплект базовых фигур геометрии, короче.

Конечно же, это ещё не та форма пространства, которую имеет вселенная. Однако общий принцип объединения всех геометрий в одну, здесь демонстрируемый, уже вполне должен быть ясен, наверное. А самое главное, полученная так форма – это ещё и одна из важных проекций той реальной многомерной геометрии космоса, к которой мы постепенно приближаемся.

Дабы увидеть, как выглядит другая очень важная проекция, понадобится следующий трюк преобразований. Ещё раз обратившись к моделям линейчатых фибраций цилиндра и гиперболоида, представим себе, что каждая фибра представляет собой не отрезок прямой, а окружность. То есть каждая палка превращается в кольцо, как выразился бы маленький Паскаль.

Даже в простейшем случае цилиндра это преобразование даёт нам принципиальной важности фигуру. Именуемую тор и демонстрирующую естественное объединение двух базовых геометрий для поверхностей пространства: внешняя часть тора имеет положительную кривизну, а у части внутренней кривизна, соответственно, отрицательная. Также существенно – и желательно запомнить – что внутренняя и внешняя части этой фигуры представляют собой две равные половины исходного тора.

Для того, чтобы стало яснее, где и как в этой простейшей «модели многомерной вселенной» скрывается «плоское как лист» пространство мира нашего, имеет смысл ещё раз обратиться к идее линейчатых цилиндров и гиперболоидов. И теперь повернуть базовую окружность фибрации не на малый угол, а подальше, 180 градусов и больше. Тогда происходит следующее геометрическое чудо.

Абсолютно все фибры этого пространства оказываются зацеплены друг за друга таким естественным образом, когда каждая нить сцеплена со всеми остальными… Иными словами, мы получили элементарную модель мира, где присутствуют все возможные геометрии, а буквально каждый элемент материи оказывается в «квантово-сцепленном» состоянии со всеми остальными. Кавычки вокруг квантовой сцепленности здесь пока необходимы, конечно, поскольку никакой материи в модель мы пока не вводили на самом деле. Но для начала будет неплохо ухватить собственно идею…

И теперь, дабы органично перейти от геометрии зацепления в фибер-пространстве к отысканию плоской геометрии в выпукло-вогнутом торе, самое время вспомнить об открытиях выдающегося математика Уильяма Кингдона Клиффорда. Который ещё в середине XIX века обнаружил, что окружности или «кольца Паскаля» в условиях трёхмерного пространства можно сконфигурировать таким образом, чтобы они – всегда оставаясь параллельными – в совокупности формировали весьма особенную 3D-поверхность.

Параллельные Клиффорда и 3D-тор Клиффорда в 2D-проекции

В своём итоговом виде этот объект получил в науке название тор Клиффорда, а главная его особенность заключается в следующем. Хотя в целом – или глобальном – виде это совершенно очевидно искривлённая поверхность, на любом локальном участке, «доступном для наблюдений обитателей», это пространство выглядит плоским, словно лист бумаги на столе. Ибо любые две пересекающихся пары параллельных линий (на самом деле окружностей) дают в точности ту же геометрию, что и пары пересекающихся параллелей на плоскости.

Другая примечательная особенность тора Клиффорда – это вполне ясное и непосредственное соответствие между данной геометрией и фибрацией зацепленных нитей гиперболоида. В прямом соответствии между «палками и кольцами», и в этом плоском торе каждая из образующих его фибер-окружностей строго по одному разу сцеплена со всеми остальными окружностями параллельных Клиффорда.

По причине этой всеобщей зацепленности элементов такая геометрия фибрации именуется в математике «нетривиальной». А в области физики является фундаментальной основой для столь разных феноменов, как квантовая сцепленность, гравитация и нескончаемые циклы информационной эволюции вселенной. Но этот факт, впрочем, наука только-только начинает приоткрывать. Или понемногу вспоминать, выражаясь иначе.

#

Ну вот, а теперь, когда реальная форма вселенной не только наглядно обозначена, но и в общих чертах может считаться понятной, осталось прояснить, отчего это решение является для науки не только самым лучшим, но и единственным, по сути дела.

Доказывать столь сильные утверждения в научных кругах положено сразу с двух сторон – экспериментальной и теоретической. И если говорить о стороне экспериментально-наблюдательной, то на сегодняшний день почти все (по общим прикидкам, свыше 98%) из результатов астрофизиков свидетельствуют, что пространство вселенной выглядит повсюду «плоским как лист бумаги на столе».

Но при этом, однако, имеется и постоянно прирастающий комплекс таких наблюдательных данных, которые указывают на факт общего вращения вселенной. Причём многие из этих данных свидетельствуют ещё и о том, что «наша» точка наблюдений за космосом оказывается как бы и весьма особенной – словно вся вселенная вращается вокруг планеты Земля и Солнечной системы.

Понятно, наверное, что это по всему был бы очень странный результат – если бы для него не имелось простого геометрического объяснения. Ещё в начале 1960-х годов математические физики показали, что в условиях вселенной как вращающегося тора для наблюдателей в любой точке на этой поверхности будет казаться, будто весь мир вращается именно вокруг них (подробности см. в тексте «И все-таки, она вертится?» )…

Если же теперь обратиться к доказательствам со стороны сугубо теоретической, то здесь дела обстоят ещё интереснее. Математическая модель вселенной, имеющей в качестве базы геометрию тора Клиффорда, имеет в себе такие необозримые глубины, что из неё удаётся выводить по сути любые физико-математические результаты и миры – если они лишены внутренних противоречий и имеют стабильные решения.

Иначе говоря, это математическая основа для физики любой реальности, включая и нашу, естественно. А если сформулировать то же самое ещё более вызывающе, то можно сказать и так. Вся надёжная и хорошо работающая математика, выстроенная для физики как нашего, так и любого другого мира, является действительно верным описанием реальности в её разных проекциях. Вот только интерпретируются сейчас эти проекции теоретиками чаще неверно, нежели правильно. Потому что реальность в целом – включая и нашу «проекцию» – при той же самой математике устроена сильно иначе.

И если сосредоточиться – с опорой на тор Клиффорда – на интерпретации действительно правильной, то тогда всё прочее естественным образом становится на свои места. Квантовая физика и гравитация действительно оказываются разными сторонами одного и того же взаимодействия. Гиперболически-вогнутый мир AdS и выпуклый мир CFT – разными проекциями одной и той же многомерно-раздвоенной геометрии, где в качестве порождающей всё мембраны-перегородки выступает плоский мир реальности нашей. А информационный парадокс чёрных дыр оказывается вовсе и не парадоксом, а удобным маршрутом для освоения проекции вселенной в виде квантового опто-акустического компьютера или, иначе, «вычисляющего пространства»…

При этом особо важно, что осваивать или «вспоминать» все эти в высшей степени нетривиальные вещи вполне возможно на уровне, понятном даже для ребёнка. На уровне «колец и палок» маленького Паскаля, иными словами. Но с последовательным добавлением других столь же понятных «инструментов». Типа волн и вихрей в океане. Решёток и спиралей в кристалле. Вибраций мембраны в акустике и основ фотографии в оптике.

Для всех, даже самых трудных вопросов науки, короче говоря, у природы есть простые и внятные аналогии как ответы. Вот только согласиться их принять – оставаясь на традиционных позициях науки – это для учёных оказывается самой тяжёлой проблемой.

Даже относительно сложные идеи и конструкции до детей и людей обычных донести тут легче, нежели до образованных мудрецов, уверенных в «незыблемости основ». Отчего явно имеет смысл обращаться именно к тем, кто способен слушать и понимать услышанное. Тогда, глядишь, и до мудрецов постепенно дойдёт. От собственных детей или внуков, к примеру…

[Продолжение следует]

# # #

Дополнительное чтение:

О спорах науки вокруг факта вращения и общей геометрии вселенной: Вглядываясь назад , И всё-таки она вертится?
О драматичном и «сильно не том» финале в биографии великого учёного Блеза Паскаля: Pascal-Pascheles-Pauli , Нечто иное
Важные подробности о торе Клиффорда и довольно необычных обстоятельствах вокруг истории его появления в науке: Нетривиальное расСЛОНение , Путь Клиффорда
О природе самообмана в точных науках

# #

Основные источники:

George Musser, «The Most Famous Paradox in Physics Nears Its End». Quanta Magazine, October 29, 2020

István Ozsváth and Engelbert Schücking, «Finite Rotating Universe», Nature 193, 1168 — 1169 (March 1962)

Yuri N. Obukhov, Vladimir A. Korotky, and Friedrich W. Hehl, «On the rotation of the universe», arXiv:astro-ph/9705243, Preprint Univ. of Cologne (1997)

#