Математика Тота и физика Хемену

Застывшие догмы современной науки делают её всё больше похожей на посюстороннюю религию. Парадоксальным лекарством от этой напасти могут послужить своего рода «прививки» знаний от одной глубоко религиозной – и чрезвычайно древней – культуры человечества…

За четырнадцать лет до наступления нового миллениума, в 1986, задорная девичья поп-группа the Bangles выпустила свою самую знаменитую песню-мегахит под странным названием «Ходи как египтянин» (Walk Like an Egyptian). Никакого глубокого смысла в тексте там не присутствовало, зато по радио и на танцах ритмичная песня заходила отлично, да и видеоряд в клипе получился на редкость удачным. Короче, в коллективное сознание публики это произведение впечаталось прочно и надолго.

Четырнадцать лет спустя после вступления мира в новый миллениум, в 2014, для той части публики, которую интересуют тексты со смыслом, вышла примечательная книга [1] под характерным названием Count Like an Egyptian (Считай как египтянин. Практическое введение в древнюю математику). Совершенно ясно, откуда взялось такое название. Куда менее очевидно, наверное, кому и почему данное произведение может быть сегодня интересно.

Если про тему древнеегипетской математики вы решите узнать из статей в стандартных энциклопедиях и справочниках, то перед вами предстанет нечто архаичное и примитивное («египтяне не знали таблицу умножения»), громоздкое и неуклюжее, да ещё и в причудливом замесе с религией египтян. В общем, абсолютно не похожее на математику современную. То есть в таком виде этот раздел истории науки представляется очень узкой нишей, интересной разве что лишь для совсем немногочисленных специалистов.

Однако, один из таких специалистов, Дэвид Реймер, американский математик-доцент в университете Нью-Джерси и автор книги «Считай как египтянин», в первой же главе своей работы предлагает в корне иной взгляд на предмет:

Я преподаю математику египтян в своём колледже. Для того, чтобы научить моих студентов, как перемножать и делить целые числа по-египетски, мне требуется меньше пяти минут. Легко освоив этот метод, далее студенты делают такие вычисления быстрее меня и почти всегда без ошибок.

А теперь сравните данный процесс с теми двумя примерно годами, которые затрачивают наши дети в начальной школе, заучивая наизусть таблицу умножения и наши правила арифметики для перемножения и деления чисел столбиком.

У меня есть сильные подозрения, что где-то там в небесах бог Тот, научивший египтян письменности и счёту, взирает на нас сверху с ухмылкой: «Ну, и кто тут теперь примитивный?»…

Сегодня мы тут, конечно, достоверно не знаем, кто был реальным прототипом бога Тота в истории Древнего Египта. Но многочисленные документы той отдалённой эпохи дают историкам все основания полагать Тота так называемым «культурным героем» египетской цивилизации. То есть одним из тех героев древнейших мифов и легенд, кто научил первобытных дикарей ремёслам и земледелию, дал людям календарь, письменность и счёт.

Такого рода культурные герои непременно присутствуют в мифологии практически любых народов планеты. Но бог Тот занимает в этом длинном ряду совершенно особое место по целому ряду причин. Во-первых, потому что он заложил основы цивилизации одной из самых мощных и примечательных культур в древней истории человечества.

Во-вторых, потому что основы иероглифического письма и египетской математики, идущие от Тота, очень плотно переплетены с тайнами мироустройства и религии.

И в-третьих, наконец, современная наука хотя и давно знает, естественно, о тех сакральных тайнах, что бог Тот раскрыл людям ещё на заре цивилизации, однако ни обсуждать, ни даже упоминать эти тайны решительно не желает по сию пору.

«Пункт один» в данном перечне никаких пояснений не требует. Но что здесь имеется в виду по «пункту два» и особенно по «пункту три»?

Именно с третьего, наиболее озадачивающего, наверное, тезиса имеет смысл и начать.

Среди великого множества тех расшифрованных текстов Древнего Египта, что имеются у современной науки, так называемая «Египетская Книга Мёртвых» по праву считается одним из наиболее знаменитых документов. Практически все, кто мало-мальски интересуется этой культурой и её историей, обычно в курсе, что у самих египтян этот сборник текстов именовался вовсе не «книгой мёртвых», а «Главами о Восхождении к Свету».

Все эти главы, которые точнее именовать заклинаниями, служили своего рода руководством и путеводителем для умерших при их перемещении в загробный мир. Тексты этих глав вырезали в камне на стенах гробниц фараонов, писали на саркофагах вельмож, а в виде папирусных свитков клали рядом с теми усопшими, кто победнее.

Традиция эта шла с древнейших времён, так что более чем трёхтысячелетняя история Египта в общей сложности породила порядка двух сотен подобающих глав-заклинаний, которые в разнообразных сочетаниях обнаружены археологами в захоронениях разных периодов и регионов. И поскольку никакого канонического набора «Глав о Восхождении к Свету» не существует, соответственно, может сильно различаться и состав глав в современных вариантах перевода этой книги.

Понятно, что в таких условиях наибольший интерес у разных исследователей привлекают разные главы сборника. Но при этом стабильно наблюдается очень любопытная закономерность.

Сами египтяне отчётливо понимали и отмечали неравноценность тех или иных заклинаний. Особая важность отдельных текстов подчёркивается в явном виде. А самое главное, также там имеется один совершенно особенный текст, именуемый так: «Глава познания всех глав о восхождении к свету в одной главе» (и поясняется: «Если усопший будет знать эту Главу, он вознесётся к свету, и ни у одних ворот загробного царства он не встретит сопротивления, будь то при выходе из него, или же при входе»).

Согласно классификации современной египтологии, идущей из XIX века, эта важнейшая глава получила номер 64. Согласно же свидетельствам египетских источников, этот текст Книги является, похоже, и самым древним, поскольку при весьма загадочных обстоятельствах был обретён в центре поклонения богу Тоту, городе Хемену, в эпоху правления царей I династии (подробности см. тут : ТЗО_Глава 64 ).

С учётом всех этих примечательных обстоятельств Глава 64, казалось бы, должна занимать особо важное место и в современной египтологии. На самом деле, однако, дела тут обстоят с точностью до наоборот.

Ни в одной из общедоступных обзорно-энциклопедических статей о Египетской книге мёртвых «Глава познания всех глав» не упоминается никак. В литературных переводах этой книги Главу 64, как правило, принято пропускать. А если вы попытаетесь отыскать посвящённую её анализу научную статью, то узнаете, что этот текст намного больше интересен всевозможным оккультистам, теософам и прочим любителям эзотерического, нежели серьёзным египтологам.[2]

Почему так?

Ответ нужно спрашивать у самих учёных-египтологов, ясное дело. Но здесь, однако, ничто не мешает привести перевод наиболее примечательных фрагментов этой Главы. Особой главы, которая снабжает человека, переходящего в мир иной, набором знаний, весьма неожиданных – для наших представлений о религии древних египтян…

Я есть день вчерашний, и день сегодняшний, и день завтрашний. И я способен возродиться к новой жизни.
Я есть божественная сокрытая душа, создающая богов и дающая пищу божественным сокрытым существам.
Я есть владелец двух божественных ликов, я – выходящий из тьмы. Приветствую вас, два сокола, сидящие в гнёздах своих и внимающие словам.
Я есть правитель царства, и имя моё, под которым я вхожу и выхожу из загробного мира – Хех, властелин миллионов лет и царь земли.
Я творец своего имени. Запертая дверь в стене взломана, и то, что прежде внушало ужас – низвержено и отброшено.
Могущественный бог получил глаз свой, лицо его излучает свет, моё имя – его имя. Я не подвергнусь разложению, но обрету новое рождение в обличии бога-льва. Я повелеваю жизнью своей.
Я пришел, чтобы увидеть того, кто живёт в своей божественной змее, лицом к лицу, глаза к глазам.
О бог-лев, ты пребываешь во мне, а я в тебе, твои свойства суть мои свойства.
Я пришел как несведущий в тайнах человек, и я вознесусь к свету в обличье наделённого силой духа, и я буду смотреть на свои воплощения, мужские и женские, во веки веков…

В главе 64, полученной от Тота, нет никого из общеизвестного египетского пантеона – Ра, Осириса, Исиды, Гора и прочих богов, созданных человеком. Звучат лишь обращения к богу солнцу в образе льва, а также перечисление его прочих ипостасей-аспектов в виде соколов, змеи – и самого усопшего. Тождественного единому высшему божеству…

Здесь определённо не место обсуждать, что всё это значит для правильного понимания основ египетской культуры и духовной жизни. Но коль скоро изначально речь у нас шла о математике, непременно следует обратить внимание на строку о возвращении глаза бога. Ибо этот образ – под разнообразными названиями типа «око Ра», «око Гора», священный символ Уаджет – фигурирует постоянно как в религиозных текстах египтян, так и в текстах математических.

Если о знаменитой иероглифической письменности и продвинутой математике египтян, позволявшей им возводить технически весьма сложные сооружения, наслышаны, наверное все, то о специфически «раздвоенной» природе египетского письма и счёта обычно известно лишь специалистам.

Начиная ещё с первых династий древнего царства у египтян было два разных способа письма. Одна письменность иероглифами – сакральная или торжественно-декоративная для храмов, гробниц и священных текстов. И параллельно письменность другая – мирское или иератическое письмо-скоропись для записей деловых, медицинских, бытовых и так далее.

Аналогично, имелась сакрально-иероглифическая математика для тем религиозного свойства и математика иератическая для повседневной жизни. Не зная особенностей духовной жизни египтян, нам сегодня довольно сложно оценивать глубину их сакральной математики, однако про религиозно-математический объект под названием «глаз бога» историкам науки известно достаточно много.

Одна из наиболее примечательных особенностей сакральных египетских дробей – это то, что они всегда имеют в числителе 1, то есть являются разными долями «единого». Это единое обозначалось в виде глаза бога, а дроби, соответственно, обозначались как разные элементы такого глаза. Интересно, что количество этих элементов равно 6, а в сумме они дают не полную единицу, а 63/64 (глубокий сакральный смысл данного устройства, насколько можно судить, считается для науки утерянным).

Египетские дроби мирской иератической математики записывались попроще, вполне позволяли оперировать дробями и меньше 1/64, но практически всегда также имели в числителе 1 (за редкими исключениями типа 2/3 и 3/4).

Хотя систему египетских дробей по традиции принято считать архаичной и менее удобной, чем дроби современные, Дэвид Реймер в своей книге «Считай как египтянин» демонстрирует, что это не так. В современной математике на самом деле используются две существенно разных системы дробей, десятичные и рациональные. Каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки. Ну а дроби египетские, как показывает автор, являются своего рода удачным компромиссом, соединяющем в себе достоинства обеих современных систем.

О чём же в книге Реймера не рассказывается ничего, так это о весьма любопытных переплетениях сакральных египетских дробей «глаза бога» с культурами других эпох и народов. Точнее говоря, имеются отчётливые, но рационально почти необъяснимые, взаимосвязи между ключевыми идеями Главы 64 главной книги египтян и особенностями языка, арифметики и письменности таких культур, как, скажем, русская, английская и древнеримская.

Например, в английском языке одному и тому же фонетическому набору звуков «Ай» соответствуют два существенно разных, казалось бы, слова: Eye как «Глаз» и I как «Я». Вспоминая заклинание древних египтян, «Я есть глаз могущественного бога», не так просто определиться, какой из двух смыслов английского слова «Ай» является сакральным, а какой мирским. Не менее примечательно, что ещё одно значение символа I – через общеизвестную нотацию римских цифр – это число 1. Или иначе, Единое…

Если кто-то упёртый склонен расценивать это как чисто случайные совпадения, то имеется немало и других аналогично занятных совпадений. Из пересечений, скажем, с культурой русской.

Например, рассмотрим особенности буквы Я в русском алфавите. По своему смыслу эта буква, с одной стороны, означает «Я как личность человека». А со стороны другой – по своей форме – эта буква отчётливо повторяет форму священного для египтян символа Уаджет. То есть «глаз бога» или Единого…

Вполне к месту будет отметить здесь и такой факт истории. Те же самые принципы устройства древнеегипетской математики, что позволяют перемножать большие числа без знания таблицы умножения, под другим названием известны у историков науки как «метод умножения русских крестьян» (см., к примеру, «Умножение в Древнем Египте» или Russian Peasants multiplication).

Историки-материалисты не могут доказательно объяснить, откуда растут все эти занятные и отчётливые взаимосвязи между разными культурами, столь далеко разнесёнными во времени и пространстве. Но зато учёные могут ныне с подробностями рассказать и показать, как работает древнеегипетская математика. И почему она превосходит арифметику нашу в терминах простоты, логичности и скорости вычислений.

Самый знаменитый, наверное, и определённо самый большой по объёму документ древних египтян, полностью посвящённый решению математических задач, носит название Папирус Ринда. Отечественные египтологи, впрочем, предпочитают называть то же самое Папирус Ахмеса. То есть по имени записавшего его три с половиной тысячи лет назад египтянина, а не по имени английского антиквара XIX века, неведомо у кого раздобывшего этот документ первым и, судя по всему, нелегально.

На взгляд современного человека этот папирус представляет собой сборник сугубо практических задач и их решений. Во вступление же от писца Ахмеса, копировавшего все эти задачи с документа значительно более древнего, его труд торжественно представлен как «точные расчёты для исследования вещей, подходы к получению знаний обо всех существующих вещах и обо всех сокрытых тайнах».

Имея представление о масштабах современных знаний науки, мы можем, конечно, снисходительно улыбаться такому вступлению к сборнику задач примерно той же сложности, что у заданий для детей в школе. Однако университетский математик Дэвид Реймер, вполне компетентно и серьёзно рассуждающий о достоинствах египетской математики, тоже склонен видеть там и глубину, и подходы к сокрытым тайнам.

Для того, чтобы освоить «наше» перемножение чисел столбиком, напоминает книга Реймера [1], нам нужно прежде запомнить таблицу умножения размером 10х10. Затем нам нужно научиться тому, как умножать одну цифру на более длинное число, добавляя переносы к следующим перемножениям. Для больших чисел мы должны проделывать это несколько раз, подписывая со сдвигом промежуточные результаты. Наконец, эти результаты требуется сложить друг с другом.

С нашим же «длинным» делением ситуация ещё хуже. Мы должны постоянно угадывать, как много раз какое-нибудь страшное число, вроде 37, входит в ещё более страшное число вроде 207. Когда догадаться удалось, нам требуется умножить это число на 37, что занимает определённое время, понятное дело. Затем мы должны записать этот ответ под исходным числом и сделать вычитание. Обычно такая процедура должна быть выполнена несколько раз.

А теперь, пишет Реймер, давайте сравним эти процессы с египетской системой. Прежде всего, здесь единственное число, на которое вам надо умножать, это 2. Причём на самом деле даже это вам знать не обязательно, потому что умножение на 2 – это то же самое , что сложение числа с самим собой. Вы делаете это несколько раз, складываете нужные части столбика – и всё… При этом обратная операция деления здесь выглядит по сути так же, как и перемножение. Всё сведено к простым операциям удвоения и сложения.

Ради большей ясности полезно обратиться к конкретным примерам. Для начала рассмотрим, как египтяне стали бы выполнять перемножение (их система записи чисел выглядела бы иначе, конечно, но здесь это не существенно).

Итак, как устроено египетское умножение двух чисел, к примеру, 56 на 37:

В качестве первого сомножителя настоятельно рекомендуется брать наименьшее из двух чисел, то есть 37. Под первым числом (37) выпишем в колонку начинающийся с 1 «сакральный ряд чисел», где каждое следующее число получено путём удвоения предыдущего: 1, 2, 4, 8, 16, 32 (смысл выбирать меньший из сомножителей в том, что для него этот ряд обычно короче).

Напротив единицы пишем второе умножаемое число (56), далее на его основе формируя такую же колонку удвоений, чтобы каждое следующее число получалось удвоением предыдущего. Тогда напротив 2 оказывается 112, напротив 4 — 224, и так далее до нижней строки, где напротив 32 получается 1792…

Далее в первой колонке находим те числа (отмечая галочкой строки), которые в сумме дают первый сомножитель (37). Начиная снизу, самое близкое к 37 – это 32. Для их разности (5) самое близкое число 4. Добавляя 1, делаем итоговую сумму равной первому сомножителю: 37 = 32 + 4 + 1.

Теперь во второй колонке выбираем те числа, которые стоят напротив чисел, образующих 37. То есть, если в первой колонке это 32,4,1, то во второй колонке выбираются, соответственно: 1792, 224, 56. Суммируя выбранные числа второй колонки, получаем число 2072. Это и есть результат перемножения 37 на 56.

А теперь рассмотрим обратную операцию – как египтяне стали бы делить 2072 на 56. Первое, что невозможно не заметить, процедура выглядит по сути той же самой.

Сначала в первую колонку записывается базовый ряд чисел, где каждое следующее является удвоением предыдущего: 1, 2, 4, 8 и так далее. Напротив единицы пишем число, на которое требуется разделить, в нашем случае это 56. Далее на основе этого числа формируется такая же колонка удвоений. Получающийся второй ряд чисел записывается напротив первого. Соответственно, напротив 2 пишем 112 (56х2), напротив 4 — 224 и так далее…

Выписывается вторая колонка до тех пор, пока не получим число, наиболее близкое к делимому (2072). В нашем примере это 1792. Отмечаем эту строку галочкой, далее ищем в той же колонке число, наиболее близкое по значению к остатку (2072 – 1792). В нашем случае это 224, строку также помечаем. И ищем в колонке следующее число по тому же правилу. Это 56.

Теперь переходим в первую колонку и – суммируя числа из отмеченных строк – получаем искомый ответ: 32 + 4 + 1 = 37.

Развитые методы счёта египтян, конечно же, вполне позволяли им работать не только с целочисленными, но и с дробными значениями. Более того, современные математики и программисты, знакомые с египетской системой вычислений, непременно отмечают, что она не только гораздо удобнее для реализации на компьютере, но и естественным образом может быть развита для более сложных операций. Таких как возведение чисел в степень и перемножение числовых матриц.

Нас здесь, однако, больше интересует нечто иное: «сакральная операция удвоения», лежащая в фундаменте всей египетской математики. А также и в основе специфической, идущей от Тота «асимметрично раздвоенной» космогонии Восьмёрки-Хемену, наиболее известной у историков как «Гермопольская». Которая, можно показать, нетривиально взаимосвязана с такими достижениями передовой науки XX века:

(а) с физикой «засекреченного открытия» Паули, наиболее известного по его попавшей в историю формулировке «Раздвоение и уменьшение симметрии – вот где собака зарыта…» ;
(b) со знаменитой «восьмёркой Зельдовича», объясняющей механизм космического динамо ;
(с) с «сакральным рядом» удваиваемых чисел – 1, 2, 4, 8 – в основах базового пространства для универсальных топологических структур фибрации Хопфа.

Проявить все эти неочевидные взаимосвязи хотя бы в общих чертах поначалу планировалось непосредственно в данном тексте. Однако даже краткий обзор перечисленных вещей делает материал чрезмерно насыщенным и перегруженным для восприятия.

Поэтому здесь рассказ пока закончим – на той же занятной песне, с которой начинали.

История наша, можно напомнить, начиналась с песни Walk like an Egyptian от квартета the Bangles. В тексте той песни никакого особого смысла, может, и нет. А может и есть, учитывая известную двусмысленность «всего египетского».

И коль скоро наиболее прочно, как известно, в памяти оседают самые последние фразы, имеет смысл обратить внимание на последние строки последнего куплета. Которые в этой песне выглядят примерно так:

If you want to find all the cops
They’re hanging out in the donut shop.

The party boys call the Kremlin and the Chinese know
They walk the line like Egyptians.

All the cops in the donut shop say:
Walk like an Egyptian…

Если хочешь найти всех копов, то они зависают в лавке пончиков.
Партийные ребята звонят в Кремль, знают это и китайцы, они ходят строем как египтяне.
Все копы в лавке пончиков твердят: Ходи как египтянин…

Кому-то, быть может, тут покажутся примечательными слова про кремлёвских ребят, китайцев и прочих полицейских, желающих всех построить.

Однако для математики и физики космоса самое тут интересное – это donut shop. Или Donut Shape, если чуть-чуть поиграть словами, превратив «лавку пончиков» в «форму тора». Иначе говоря, в ту универсальную топологию, что лежит в основе фибрации Хопфа и геометрии вселенной на любых её масштабах.

Сегодня это уже ни для кого не секрет – кроме официальной науки…