Продолжение цикла «Одна Чёрная Птица рассказала» – о раздвоении и уменьшении симметрии. То есть опять про универсальный и сразу засекреченный принцип Паули, но теперь о его проекции в область чистой математики. Вот только чистой от физики математики, как постепенно обнаруживает наука, в природе просто не бывает…
Часть первая. 1935-1937-1939…
Выдающийся математик Владимир Арнольд (1937-2010), знаменитый не только своими достижениями, но и радикальными взглядами на дела науки, считал необходимым постоянно напоминать о такой идее [i1]:
Вопреки мнению большинства современных математиков, я, вслед за Пуанкаре, считаю математику частью физики, т. е. экспериментальной наукой. Слово «математика» означает «точное знание», и соответствующие открытия были получены из наблюдений явлений природы. [o1]
Из этих слов несложно понять, что «большинство современных математиков» отнюдь не считает свою науку частью физики. Более того, в их среде и поныне общепринятой остаётся давняя традиция чётко делить эту территорию знаний на математику «чистую» (сосредоточенную на формальных аксиомах и абстрактных мирах аксиоматических построений) и математику «прикладную». Занимающуюся проблемами реального мира, включая, среди прочего, и задачи науки физики.
По иронии судьбы именно во Франции, где жил и работал великий учёный-универсал Анри Пуанкаре, не признававший такое разделение и всегда сопрягавший математику с решением физических проблем, через два десятка лет после его смерти, в 1935 родился принципиально иной подход к деланию математики. Получивший собственное имя «Николя Бурбаки» – как коллективный псевдоним группы молодых-талантливых учёных – этот подход полностью и решительно отверг взгляды Пуанкаре.
Полагая математику не только самой строгой, но и вполне самодостаточной наукой, бурбакисты (как их обычно именуют) предпочитают заниматься абсолютно стерильной аксиоматикой и формальными построениями, полностью очищенными от каких-либо взаимосвязей с прочими областями естествознания и их практическими задачами.
Случайно так получилось или нет, достоверно неизвестно, но вскоре после рождения школы Бурбаки в этот мир пришёл учёный-универсал Владимир Арнольд (1937 г.р.). По достижении зрелости и научной известности, Арнольд – сначала в СССР, а затем и во Франции – стал одним из самых страстных и непримиримых борцов с весьма влиятельной в послевоенной математике «сектой бурбакизма».
Коль скоро нас здесь интересуют не столько идеологические битвы математиков, сколько тесные взаимосвязи математической науки с наукой физикой, то очевидно пора – по некоторым весьма глубоким причинам – процитировать соответствующие соображения на данный счёт от П.А.М. Дирака. Как одного из главных «отцов» квантовой физики и автора одного из самых загадочных физико-математических открытий XX века – квантового релятивистского уравнения (также известного под именем его первооткрывателя).
Уже самая первая из «философских» лекций Поля Дирака, прочитанная им в 1939 году, носила характерное название «Отношение между математикой и физикой» – и содержала следующее интересное наблюдение [o2]:
Чистая математика и физика становятся связанными все теснее, хотя их методы и остаются различными. Можно сказать, что математик играет в игру, в которой он сам изобретает правила, в то время как физик играет в игру, правила которой предлагает Природа.
С течением времени, однако, становится все более очевидным, что правила, которые математик находит интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа.
В поддержку этого интуитивного наблюдения, как известно, в истории науки имеется великое множество разнообразных примеров. Но самый среди них впечатляющий, наверное, – это неожиданное открытие математиков Атьи и Зингера, сделанное в середине 1960-х годов. И подтвердившее интуицию Дирака с поразительной убедительностью.
Работая, как казалось исследователям, над сугубо абстрактной Теоремой об индексе, Майкл Атья и Изадор Зингер углубились в такие неведомые прежде недра чистой математики, где им удалось обнаружить удивительный объект-оператор. Своего рода математический генератор, порождающий все прочие соотношения и результаты для объединения весьма разных областей математики, прежде считавшихся отдельными друг от друга.
Самое же удивительное, что этот оператор-генератор оказался хорошо известен теоретикам квантовой физики. Ибо четвертью столетия ранее, в 1928, именно эту, по сути, формулу Поль Дирак неведомо как изобрёл и сделал основой своего знаменитого уравнения. Квантового релятивистского уравнения, успешно связавшего воедино столь разные вещи, как волновая природа материи, феномен спина частиц и эффекты относительности (деформаций) пространства-времени для больших скоростей. [i2]
Понятно, наверное, что этот в высшей степени примечательный факт совпадения операторов указывает на очень глубокие взаимосвязи между устройством математики и устройством физики (иначе именуемой Природа). Но вот как именно выглядит структура взаимосвязей в этих единых глубинах, понимания у науки и поныне нет даже близко.
Имеются, конечно, разного рода предчувствия авторитетных светил. Но светила эти, как известно, чаще всего друг с другом не согласны, отчего и разнообразные предчувствия их в ясную картину не складываются никак.
Разбираться с этими мутными вещами, впрочем, тут совершенно не хочется. Ибо гораздо интереснее рассмотреть нечто иное. То, как единый фундамент физики и математики на самом деле был определённо нащупан наукой очень давно, ещё в 1930-е годы. Вот только ключевые элементы этого коллективного открытия, к сожалению, заметить и постичь в ту пору учёные сразу не сумели.
А затем всем стало сильно не до этого…
Интермеццо: «С вашим умом это можно было бы вычислить»
Германия, Бонн, январь 1942 года. Семья известного и весьма пожилого профессора-математика Феликса Хаусдорфа – он сам, его жена и живущая с ними сестра жены – получают от нацистских властей жуткое формальное уведомление. О том, что они, как лица еврейской национальности, в ближайшее время подлежат отправке в концлагерь… Не дожидаясь этого дня, Хаусдорфы покончили жизнь самоубийством.
Перед смертью математик отправил другу такое письмо [o3]:
Дорогой друг Вольштейн. К тому времени, когда вы получите эти строки, мы трое решим проблему другим способом – тем самым, от которого вы постоянно пытались нас отговорить. …
Всё, совершаемое против евреев последние месяцы, вызывает вполне обоснованное беспокойство относительно того, что нам больше не позволят жить в сносных условиях. …
Простите нам наше дезертирство! Вам и всем нашим друзьям мы желаем дожить до лучших времён. Искренне ваш, Феликс Хаусдорф.
Другой созвучный эпизод, примыкающий к этой трагической истории из жизни большой науки в годы войны, можно было бы пересказать по автобиографической книге выдающегося учёного и инженера Теодора фон Кармана. То есть одного из главных – наряду с Людвигом Прандтлем – отцов современной аэродинамики (предусмотрительно и сильно заранее перебравшегося из Германии за океан, получив гражданство США ещё в 1936). Здесь, однако, есть смысл процитировать данный эпизод в пересказе от Владимира Арнольда [o4] :
В конце войны фон Карману было поручено перевезти в США немецких специалистов по ракетам, не допустив их захвата русскими. Он, действительно, привёз фон Брауна (и тем основал американскую ракетную промышленность), в то время как попавшие в Россию представители Пенемюнде (где делались Фау-2) были поселены на острове Городомля посреди Селигера, и всегда сожалели о том, что их знания и умения так и не были использованы по-настоящему.
Отбирая специалистов, Карман двигался сразу же за передовыми отрядами наступающей американской армии, и в Гёттингене встретился со своим старым учителем, Прандтлем (который и для Колмогорова значил в гидродинамике более, чем кто-либо). Прандтль сообщил, что он и не подозревал об ужасных преступлениях нацизма, о концлагерях, фотографии которых стали тогда публиковаться, и т. п.
— С вашим умом это можно было бы вычислить, господин учитель, — ответил фон Карман…
Часть вторая. Год 1931
Хотя для Поля Дирака, как мы видели, факт роста всё более тесных взаимосвязей физики и чистой математики был вполне очевиден уже в 1930-е годы, в целом большая наука той эпохи не видела и не чувствовала этого совершенно. (Иначе говоря, математический склад ума и способности к сложным вычислениям вовсе не подразумевают особую проницательность и дар интуитивных прозрений.)
Ярчайшим примером тому, скажем, может служить известная история с появлением в начале 1930-х годов двух физико-математических факультетов в прославленном МГУ, Московском государственном университете. Причиной мощного раскола среди учёных стало активное неприятие «стариками» той новой физики, которую энергично пытались внедрять молодые, как правило, сторонники квантовой механики и эйнштейновой теории относительности.
В условиях столь острого конфликта между враждующими лагерями единый прежде физико-математический факультет было решено разделить на два: Физфак для новаторов и Мехмат для сторонников традиционных ценностей. По сути дела, именно в тот период, когда новая физика быстро развивалась молодыми и не очень образованными энтузиастами, остро нуждаясь в широком кругозоре и обширных знаниях опытных учёных, те предпочли отгородиться от нахальных «ниспровергателей» искусственно сконструированным забором.
Отчего чистая математика и классическая физика-«механика» (включая чрезвычайно важную гидродинамику) стали развиваться совершенно отдельно от физики квантовой и релятивистской. Не уменьшая, а напротив, всячески увеличивая разрыв между близко родственными науками.
В других университетах, городах и странах это происходило как-то иначе, ясное дело, однако общая суть очерченного процесса повсюду была примерно одна и та же. Вместо очень нужного для всех сближения разных научных направлений в эпоху важных открытий стал происходить быстрый процесс расхождения не только между физикой и математикой, но и между тесно сопряжёнными прежде областями внутри физики – вроде гидро- и электродинамики. Ибо сторонники квантовой теории возвели в догму весьма спорное утверждение, согласно которому «их» новая физика устроена в принципе иначе, нежели физика классическая.
О том, сколь долговременные и печальные последствия для развития квантовой теории имело в прошлом и продолжает иметь поныне недостаточное внимание к гидродинамике, граничащее с невежеством, рассказывать надо отдельно и с подробностями [i3] [i4]. Здесь же в фокусе истории находится сюжет другой. О примечательно совпадающем отсутствии интереса у физиков и математиков к синхронным – и очень важным – открытиям у смежников. Историй таких на самом деле немало, но для нас особо любопытен год 1931.
Повышенного интереса он достоин по двум, главным образом, причинам. Во-первых, именно в тот год Поль Дирак опубликовал ещё одну из своих фундаментально важных статей, носившую название «Квантованные сингулярности в электромагнитном поле» [o5] и впервые описавшую концепцию под названием «магнитный монополь». Или иначе, монополь Дирака, очень нужный теоретикам от Природы, однако и поныне по неясным для физиков причинам упорно ускользающий от экспериментаторов.
А во-вторых, в том же 1931 году математик Хайнц Хопф опубликовал другую фундаментально важную статью «Об отображениях трёхмерной сферы на поверхность шара» [o6] – с описанием открытой им новой структуры, получившей в истории название «фибрация Хопфа» (по-русски чаще, но неудачно, к сожалению, то же самое именуют расслоением Хопфа).
Тот факт, что важная для чистых математиков фибрация Хопфа и важный для квантовых физиков монополь Дирака, — это в терминах математического описания на самом деле одно и то же, разглядеть учёные сумели лишь сорок с лишним лет спустя, в середине 1970-х. По одной простой причине: все предыдущие десятилетия практически никто не интересовался текущими делами у смежников.
Про то, что признаки специфических структур фибрации Хопфа – когда о ней стали всё больше узнавать физики-теоретики – за последующие полвека были обнаружены в основе множества самых разных физических феноменов на всех мыслимых масштабах природы, сегодня учёным известно вполне хорошо. Но по какой-то неназываемой причине в учебниках и энциклопедиях об этом либо молчат, либо упоминают чрезвычайно скупо. [i5]
Ну а про ещё одно созвучное и примечательное открытие чистых математиков из 1930-х годов – под названием связное двоеточие Александрова (или иначе, пространство Серпинского) – в книгах и статьях физиков не пишут вообще ничего. Ни слова. Ни о том, сколь интересно оно встраивается в фибрацию Хопфа и в уравнение Дирака. Ни про то, тем более, что данный объект имеет фундаментально важное значение для постижения единства физики и математики.
Впечатление такое, будто об этом в науке никто и ничего до сих пор просто не ведает. А если кто-то что-то и знает, то предпочитает помалкивать…
Интермеццо: Академик, который «вовсе ничего не понимал в своей науке»
Всю свою долгую и плодотворную жизнь связавший с МГУ, математик Павел С. Александров (1896-1982) сумел оставить о себе память весьма и весьма неоднозначную. С одной стороны, он стал членом-корреспондентом советской Академии наук ещё в молодости – в 1929 году, одновременно с переходом в полные академики его учителя, Николая Н. Лузина. Со стороны же другой, сам Александров полным академиком сумел стать много-много позже, лишь в 1953 году и вряд ли случайно только после смерти Лузина.
С одной стороны, математические таланты Александрова были хорошо известны в мире, причём и на личном уровне у него сложились близкие дружеские/научные связи с такими, в частности, важными для нашей истории зарубежными светилами, как Хайнц Хопф и Феликс Хаусдорф. А с великим советским математиком Андреем Н. Колмогоровым у Александрова была не просто длившаяся более полувека верная дружба, но и, судя по всему, ещё более близкие отношения.
Со стороны же другой, ещё один герой нашей истории, выдающийся математик и ученик Колмогорова, Владимир И. Арнольд оставил об Александрове как учёном крайне нелицеприятные воспоминания [o7]. Суть которых лучше передать в прямом цитировании:
[ Среди трёх базовых математических дисциплин, начала которых давали Арнольду как первокурснику Мехмата МГУ, с преподавателями матанализа и алгебры всё было замечательно и интересно. Но вот]
Что же касается аналитической геометрии, то здесь положение было иным: я перестал ходить на лекции Александрова, как только увидел, что он вовсе ничего не понимает в своей науке (путает аксиомы с теоремами и доказательства с определениями).
[… ] я быстро понял, что Александров ни геометрии Лобачевского, ни проективной геометрии (о которой Кэли говорил, что «она – вся геометрия») просто не знал. Даже тот факт, что дополнение к точке на вещественной проективной плоскости есть лист Мёбиуса, был для Александрова «трудным примером абстрактной общей теории». Векторное произведение тоже выходило за рамки его понимания. Даже тождество Якоби для него в курсе Александрова отсутствовало.
Взамен я читал на первом курсе увлекательный учебник [аналитической геометрии] Делоне и Райкова. […] Ни всей этой геометрии, ни проективной теории, ни мира де Ситтера, ни замечательных эллиптических координат элементарной аналитической геометрии в курсе Александрова, к сожалению, не было – он их и не знал.
И, вдобавок, (в отличие от Делоне) изгнал из своего курса, следуя требованию Декарта, все чертежи (вместе со всевозможными связями с физической реальностью, экспериментами и воображением)…
Самым примечательным в столь недобрых строках приходится считать то, что звучат они из уст учёного, не только по всему выдающегося, но и находящегося в преклонном возрасте «после 70». И при этом, как видим, до последних лет жизни сохранившего верность своим поверхностным суждениям и оценкам, сделанным в возрасте юноши-первокурсника: «Я увидел, что он вовсе ничего не понимает в своей науке»…
По этой причине вряд ли следует удивляться, что такое открытие П.С. Александрова (П.С.А.), как связное двоеточие, в область исследований и разработок Владимира Арнольда попасть не сумело. Оставшись для него малоинтересным, видимо, пустяком формальной аксиоматики, никак не соотносящимся «с физической реальностью, экспериментами и воображением».
О чём ныне можно лишь только сожалеть. Ибо в «двоеточии ПСА» на самом деле сокрыто не только всё Арнольдом перечисленное, но и много-много больше того. Все те миры физики и области математики, что порождаются генератором Дирака…
Часть третья. Нехаусдорфовы пространства как асимметричное раздвоение
Появление неевклидовой геометрии в середине XIX века стало первым, наверное, из тех знаменательных открытий, что демонстрируют мощь чистой математики и формальных аксиоматических построений в делах постижения физической реальности. Особенно в той её части, что трудно доступна для прямых наблюдений.
И геометрия Лобачевского, и геометрия Римана для искривлённых пространств стали прямыми следствиями того, что эти математики всерьёз озаботились контрпримерами для одной из аксиом Евклида. И сумели в результате открыть целые миры с геометрией, существенно отличающейся от плоской евклидовой. А самое главное, сильно заранее предоставили математический аппарат для новой физики XX столетия.
Примерно по той же схеме в течение XX века чистым математикам удалось выявить и подробно исследовать новые миры неархимедовых (ультраметрических) пространств – сфокусировавшись на контрпримерах для так называемой архимедовой аксиомы о соизмеримости отрезков. Все предшествовавшие столетия эта идея о свойствах пространства считалась настолько самоочевидной, что ни формулировать её в явном виде, ни исследовать подробно, тем более, никому и в голову не приходило. А когда исследования всё же начали, то постепенно выяснилось, что математика неархимедовых пространств оказывается не только на удивление богатой, но и весьма подходящей для описания процессов мышления и устройства сознания в целом… [i6]
Ещё одна область исследований чистой математики, особо интересная для нашей истории, носит название нехаусдорфовы пространства. Пока нельзя сказать, что и эта некогда неведомая территория уже предоставила учёным новые пути к постижению тайн физики и сознания. Но вполне можно говорить, что и эта область была открыта благодаря сильно возросшей «разрешающей способности» математического аппарата, наработанного к первой половине XX века.
Рассказ о сути этого важного открытия естественно начать с пояснения того, что представляют собой пространства хаусдорфовы.
Как видно уже из названия, эта область геометрии названа в честь Феликса Хаусдорфа, глубоко занимавшегося аксиоматикой в основах топологии, в частности, свойствами непрерывных и дискретных пространств, выводимых с опорой на аксиому отделимости. Понимая под этим возможности окружать любые две точки пространства такими окрестностями, которые не пересекаются друг с другом. Поскольку возможности для этого обычно имеются (аксиома почти всегда выполняется), то все знакомые людям по жизни объекты, будь они дискретные или непрерывные, являются именно таковыми. И в топологии именуются хаусдорфовыми пространствами.
Но строгий формализм математики допускает существование и других объектов – нехаусдорфовых. В повседневной жизни такие вещи люди не наблюдают, однако даже самые простейшие варианты нехаусдорфовых пространств открывают науке двери к постижению устройства незримой для нас части реальности.
Двумя простейшими – и тесно взаимосвязанными – примерами нехаусдорфовых пространств являются объекты, известные под названиями «связное двоеточие» (или двоеточие ПСА) и «линия с двумя началами».
Дабы взаимосвязь двух разных объектов отображалась наиболее наглядно, их суть удобно объяснять с помощью одной и той же картинки. Точнее, набора картинок, поскольку на самом деле адекватно изобразить эти геометрические фигуры на плоском листе бумаги (в евклидовом пространстве) оказывается невозможно в принципе. И это есть строго доказуемый математический факт.
Так что приводимые здесь картинки – это несколько своего рода проекций, поясняющих суть объектов с разных сторон. Или в разных фазах их осцилляций, когда станет яснее, что на самом деле это не только чистая математика, но и схемы реальной физики…
Иллюстрация (а) означает, что на непрерывной линии может быть точка, которая в действительности состоит из двух неразрывных точек (существенно разных по своим свойствам).
Картинка (b) поясняет ту идею, что хотя точек определённо две, следует полагать, что на линии они занимают строго одно и то же место, причём одна часть двоеточия – это «просто замкнутая точка» (и больше ничего), а другая часть – «точка открытая» (точка с окрестностью, куда можно помещать и другие точки).
Наконец, иллюстрация (c) означает, что две эти всегда сцепленные точки находятся как бы на разных линиях, но только надо представлять, что две прямые склеены в одну.
Рассматривая эту конструкцию с позиций чистой математики, можно говорить, что связное двоеточие – это самый простой пример топологического пространства, которое не является ни тривиально-непрерывным (когда между любыми двумя точками пространства можно поместить и другие), ни дискретным (состоящим из строго отдельных точек). Причём здесь же мы видим и другой простейший пример нехаусдорфова пространства – линию с двумя началами. У этого объекта два начала невозможно отделить друг от друга непересекающимися окрестностями.
В чистой математике обе эти нехаусдорфовы конструкции считаются чем-то вроде аксиоматической патологии. И уж никак не объектами фундаментальной важности. Что же касается современной физики, то там эти вещи не то чтобы неизвестны, просто никому не нужны. Пока не нужны.
Но это в корне неправильно. И это можно исправить.
Фазы осциллона: вид сверху (a,b) и вид сбоку (c,d)
Самый простой способ увидеть «локальную» фундаментальную важность двоеточия ПСА для физики – это спроецировать любопытную топологию данного объекта на раздвоенную гидродинамику осциллона. То есть постоянно осциллирующей одиночной волны (солитона), две фазы колебаний которой – пик и кратер – отчётливо соответствуют «замкнутой» и «открытой» частям двоеточия ПСА. А самое главное, имеют поразительно много общего с физикой квантовой частицы (подробности см. тут: [i4] ).
Что же касается «глобальной» фундаментальной важности двоеточия ПСА – причём непременно в сочетании с линией с двумя началами, – то чтобы это увидеть, требуется встроить данные объекты в топологию фибрации Хопфа. Иначе говоря, замкнуть линию с двумя началами в кольцо окружности, полагая двоеточия фибрами. Но замкнуть обязательно не в обычную окружность, а нетривиально – в форму фибрации Мёбиуса. Так принято называть самый простой вариант фибрации Хопфа с базовым пространством размерности 1 (сфера S1) и фибрами размерности 0.
Развивая суть этой простейшей осциллирующей конструкции на постепенно усложняющуюся топологию трёх прочих фибраций Хопфа (с базовыми пространствами удваивающейся размерности 2, 4 и 8, соответственно), далее можно будет увидеть превращение осциллона в «генератор Дирака». Увидеть то, как этот генератор порождает электромагнетизм и планковские кванты энергии, гравитацию и новые измерения, геометрию плоского и искривлённых пространств, разнообразные числовые конструкции, дискретные и непрерывные структуры, а также всё возможное прочее. Включая и тот «квантовый компьютер» вселенной, внутри которого мы живём…
Интермеццо: Самое захватывающее достижение теоретической физики
Поводом для запуска цикла «Одна Чёрная Птица», можно напомнить, стали год назад два события – не замеченный никем юбилей знаменитого теоретика Эдварда Виттена 26 августа 2021 и появившийся в тот же день большой обзор «Разговоров о квантовой гравитации».
В связи с таким раздвоенным началом было интересно посмотреть, что произойдёт 26 августа в году нынешнем. Никаких публикаций в честь не-юбилейного дня рождения Виттена в интернете не появилось, конечно же. Но по случайному, очевидно, совпадению на страницах малоизвестного кому сайта-блога ScientificInquirer именно в этот день был выложен небольшой текст с любопытным «диалогом о науке и искусстве» – между Эдвардом Виттеном и деятелем электронной музыки, именующим себя The Range. [o8]
Речь в этой беседе, в частности, шла о больших проблемах струнной теории с экспериментальной частью физики. Но прежде чем процитировать наиболее интересный фрагмент из ответов Виттена, полезно обратить внимание на ещё одну – весьма созвучную этой теме – публикацию других учёных, появившуюся в Сети примерно в это же время на веб-сайте и обложке научного журнала Reviews of Modern Physics. [o9]
Статья носит название «Геометрические фазы света: инсайты из теории фибер-расслоений», а главной её иллюстрацией, попавшей также и на обложку журнала, служит характерная структура фибрации Хопфа. При поверхностном рассмотрении этот материал целиком посвящён достижениям современной оптики и не имеет абсолютно никакого отношения ни к теории струн, ни к её большим проблемам с экспериментальной верификацией.
Но если посмотреть чуть внимательнее – сопоставив достижения оптиков в топологической фотонике и квантовых коммуникациях с тем, о чём поведал в интервью Виттен, – то вполне можно увидеть и очень глубокие взаимосвязи. Замыкающиеся на фибрацию Хопфа, ясное дело…
Теперь самое время процитировать соответствующий фрагмент беседы между физиком и музыкантом [o8]:
The Range (Вопрос): Имеются ли у нынешней теоретической физики большие достижения такого рода, которые обещали бы вывести нас на какие-то реально глубокие экспериментальные результаты в ближайшем десятилетии?
Эдвард Виттен: Самое захватывающее достижение теоретической физики в настоящее время – это исследование взаимосвязи между гравитацией и квантовой теорией информации.
Первым признаком этой связи стало полувековой давности открытие Стивена Хокинга, показавшего, что на квантовом уровне чёрная дыра [сугубо гравитационный феномен] не является по-настоящему чёрной, но испускает излучение, пропорциональное постоянной Планка.
В настоящее время время это открытие удалось развить в замечательную и удивительно глубокую взаимосвязь между гравитацией и квантовой теорией. Каким-то образом уравнения Эйнштейна для гравитационного поля, хотя они и являются чисто классическими уравнениями поля, «знают» о квантовой природе Вселенной.
Нам нужно разобраться, куда ведёт этот маршрут. Лично я надеюсь, что это приведёт нас к общему пониманию природы квантовой гравитации…
Большой и популярно изложенный обзор истории о том, как теоретическая физика по разным маршрутам выходила на выявление тесных взаимосвязей между гравитацией и квантовой информатикой, можно найти в материале «Доказательство от слона» . Здесь же – для финала – осталось уточнить, кем и когда в действительности были сделаны важные открытия, ведущие к «самому захватывающему достижению теоретической физики». И почему это важно.
Часть последняя. Год 1971
О том, что каким-то неведомым образом уравнения Эйнштейна для гравитации «знают» о квантовой природе Вселенной, на самом деле физикам и математикам стало известно столетие тому назад. То есть, фактически, на заре новой науки XX века.
В конце 1910-х и начале 1920-х, по сути сразу же после открытия эйнштейновых уравнений, Теодор Калуца и Оскар Клейн независимо друг от друга обнаружили там поразительные вещи. Было продемонстрировано, что при математическом расширении этих уравнений до 5 измерений, из них можно извлечь гораздо больше, чем физика гравитации.
Калуца, в частности, показал, что в 5D-версии тех же уравнений содержится электромагнетизм Максвелла плюс неведомое прежде науке скалярное «встряхивание» пространства. А Клейн, в свою очередь, вывел из 5D-версии волновую природу материи, квантовое уравнение Шрёдингера и порождение планковских квантов энергии при осцилляциях частиц по пятому измерению…
Иначе говоря, Калуцей и Клейном сто лет назад были получены сильные математические свидетельства тому, что уравнения гравитации Эйнштейна не только «знают» о квантовой природе вселенной, но и отчётливо указывают на глубокое единство всех физических взаимодействий.
Данные факты из истории науки считаются вроде как общеизвестными, и здесь с подробностями об этих вещах рассказывалось уже не раз (см., в частности, тексты ЖЭГ2 и ЖЭГ6 ). Вот только в традиционно-официальном изложении данную историю предпочитают рассказывать не так, как есть, а более туманно и расплывчато. Ибо за прошедшее столетие абсолютно ничего практически полезного из открытий Калуцы и Клейна извлечь науке не удалось. А пятое измерение и поныне остаётся в статусе теоретической гипотезы, никак не подтверждаемой опытами или наблюдениями.
Полстолетия тому назад, в 1971 году у науки был прекрасный шанс сделать в этой области прорыв и обрести принципиально новое понимание 5D-физики с опорой на фибрацию Хопфа. По какому-то необъяснимому совпадению именно в тот год швейцарский математик Хайнц Хопф покинул этот мир в возрасте 76 лет, а выдающийся советский теоретик Яков Б. Зельдович (1914-1987) сделал два вроде бы разных, но равно важных открытия в области физики.
Поскольку фундаментальную важность топологии фибраций (расслоений) наука физика начала открывать для себя лишь в середине 1970-х, Хайнц Хопф так об этом и не узнал. А о том, что оба открытия Зельдовича, сделанные им в 1971, на самом деле тесно связаны не только друг с другом, но и – через фибрацию Хопфа – с 5D-физикой Калуцы и Клейна, для официальной науки остаётся неведомым вплоть до сегодняшнего дня.
Вопрос о причинах, по которым все эти важные взаимосвязи остаются в науке непроявленными по сию пору, и сам по себе интересен. Однако разбирательство с этим вопросом уведёт рассказ сильно в сторону. Поэтому здесь сосредоточимся на сути новаторских идей Якова Зельдовича.
Идея первая имеет самое прямое отношение к излучению чёрных дыр как «полувековой давности открытию Стивена Хокинга». Реальная же история о выходе науки на этот важный результат в куда более аккуратном виде изложена в тексте под названием «Зельдович предсказывает излучение чёрных дыр» [o10]. Автором данного материала является Кип С. Торн, не только известнейший физик-теоретик и нобелевскмй лауреат 2017 года, но и человек, близко знавший и работавший с Зельдовичем лично.
Именно Торну, собственно, Зельдович и рассказал летом 1971 о своей новой – на первый взгляд чрезвычайно странной – идее об излучении чёрных дыр. По мере её обсуждения, однако, постепенно становилось ясно, что проблема на самом деле глубока и интересна. Поэтому в 1973, когда Кип Торн впервые привёз в Москву Стивена Хокинга, уже прикованного к инвалидной коляске, тот обратно в Кембридж увёз с собой – как наиболее сильный результат бесед с советскими теоретиками – именно эту идею Зельдовича. И примерно через год опубликовал свою собственную формулировку столь интересной гипотезы. Получившей в истории имя «излучение Хокинга» и за прошедшие полвека породившей не только гору исследований, но и надежды на объединение теорий квантовой физики и гравитации.
Вторая важная идея Зельдовича 1971 года предложила решение для весьма загадочной природы порождения мощных магнитных полей в астрофизике и известна ныне под разными названиями типа «быстрое кинематическое динамо» [i7], «восьмёрка Зельдовича», «верёвочное динамо» или «stretch–twist–fold mechanism» (механизм растяжения-скручивания-складывания).
Схема динамо Зельдовича в книге Арнольда и Хесина
Специфические особенности советской/российской науки устроены так, что известнейшая книга Зельдовича и его учеников на эту тему – о магнитных полях в астрофизике – оказалась опубликована поначалу исключительно за рубежом на английском языке, в 1983. А на русском языке оригинала книга увидела свет лишь двадцать лет спустя, в 2006. [o11]
Примерно по тем же самым причинам другая очень важная для нашей истории книга, «Топологические методы в гидродинамике» [o12] от Владимира Арнольда и его ученика Бориса Хесина, на английском была опубликована в 1998, а на русском почти десятилетие спустя, в 2007.
Особую важность книге Арнольда и Хесина придаёт целый комплекс факторов. Во-первых, это богатейшее собрание современных математических инструментов и результатов топологии, остро заточенных под решение задач физики. Но физики отчётливо классической, ибо авторы, словно храня верность известным традициям Мехмата МГУ, практически не затрагивают проблемы физики квантовой.
Во-вторых, целая отдельная глава этой книги посвящена анализу проблем быстрого кинематического динамо в астрофизике. И если там чуть внимательнее присмотреться к фазе скручивания-складывания «восьмёрки Зельдовича», то несложно увидеть в ней и характерную структуру фибрации Мёбиуса. То есть самой элементарной версии фибрации Хопфа, лежащей в основе единой природы пространства и материи, квантовой физики и гравитации.
В-третьих, наконец, именно постижение асимметрично раздвоенной природы пространства и материи – через схему двоеточия ПСА в фибрации Мёбиуса – предоставляет возможности для распространения арнольдовых «Топологических методов в гидродинамике» на решение проблем физики квантовой. Включая и квантовые феномены эйнштейновых уравнений в 5D-версии от Калуцы и Клейна.
Конечно же, далее математика существенно усложняется вместе с чередой удвоений размерности в базовом пространстве фибрации Хопфа – от действительных чисел к комплексным, от них к кватернионам и октонионам. Однако переход от элементарного двоеточия ПСА к генератору Дирака, как более сложной квантово-физической версии связного двоеточия, парадоксальным образом упрощает понимание разветвляющейся общей картины.
Для описания каждого из этапов последовательного – эмерджентного, как ныне выражаются – усложнения этой исходной схемы очевидно необходимы отдельные и большие рассказы с подробностями.
Но для начала требуется завершить историю «о проекциях секретного принципа Паули» – давно обещанным сюжетом о его проекции в область сознания. Как нашего собственного асимметрично раздвоенного сознания, так и аналогично раздвоенного сознания вселенной…
# # #
Дополнительное чтение (или ссылки внутренние):
[i1] Владимир Арнольд и «Природа самообмана в точных науках»
[i3] Квантовая физика как она есть
[i4] Частица – это что?
[i5] На самом деле ЭТО устроено так… ; Нетривиальное расСЛОНение ; Фундамент Хопфа
[i6] ТЗО: Ультраметрические пространства, неархимедов анализ и p-адические модели работы сознания
[i7] От Ферми до Альвена и Зельдовича, или Анатомия научного обмана
[i8] Цикл материалов с общей сквозной темой: Эдвард Виттен и Одна Чёрная Птица
# #
Основные источники (или ссылки внешние):
[o1] Арнольд В. И. Экспериментальная математика. М.: ФАЗИС, 2005. См. также: В. И. Арнольд, О преподавании математики, УМН, 1998, том 53, выпуск 1 (319), стр. 229–234
[o2] P. A. M. Dirac, The Relation between Mathematics and Physics. Proc. Roy. Soc. Edinburg. A. 1938-1939. V. 59. Pp. 122-129. Русский перевод: Отношение между математикой и физикой, в Собрании научных трудов ПАМ Дирака, Том 4 (лекции, научные статьи 1937-1984 гг.) ФизМатЛит, 2005
[o3] Sanford L. Segal. Mathematicians under the Nazis. Princeton, NJ, 2003
[o4] Арнольд В. И. Истории давние и недавние М.: ФАЗИС, 2002
[o5] Paul Dirac, Quantised Singularities in the Electromagnetic Fields (1931). Proceedings of the Royal Society of London, Series A, 133 (821), 60–72 . Русский перевод: Квантованные сингулярности в электромагнитном поле, в Собрании научных трудов ПАМ Дирака, Том 2 (Квантовая теория, научные статьи 1924-1947). ФизМатЛит, 2003
[o6] Heinz Hopf, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Math. Annalen 104 (1931)
[o7] Арнольд В.И., интервью в сборнике “Мехматяне вспоминают, часть 2”. Составитель В.Б. Демидович. – М.: Мехмат МГУ, 2009
[o9] C. Cisowski, J. B. Götte, and S. Franke-Arnold. Geometric phases of light: Insights from fiber bundle theory. Reviews of Modern Physics, Vol. 94, Iss. 3 — July-September 2022. Препринт: arXiv:2202.04356 [physics.optics]
[o10] Торн Кип С. Зельдович предсказывает излучение черных дыр. Перевод предварительной (1989) версии гл. 12 книги К. С. Торна, Черные дыры и искажения времени (Нортон, Нью-Йорк, 1994). Опубликовано в сборнике «Яков Борисович Зельдович (воспоминания, письма, документы)» — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014
[o11] Zeldovich Ya., Ruzmaikin A., Sokoloff D. Magnetic Fields in Astrophysics. — Gordon and Breach, New York, 1983. На русском языке: Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. — М. — Ижевск: Ин-т хаотической динамики, 2006
[o12] Vladimir I. Arnold, Boris A. Khesin. «Topological Methods in Hydrodynamics». Springer-Verlag New York, 1998. Русский перевод: Арнольд В. И., Хесин Б. А. «Топологические методы в гидродинамике». – М.: МЦНМО, 2007
#
книга новостей 