( Июль 2026 Boris.Ingener @ kniganews )

О приложениях здравого смысла к загадкам физики частиц.

Поводом для нынешнего выпуска «других новостей» стала пара одновременно опубликованных статей на страницах двух известных научно-популярных изданий. У статей этих разные авторы и посвящены они совершенно разным, казалось бы, вещам.

Публикация первая — в журнале New Scientist — рассказывает об интереснейшей загадке в математике, известной под названием «гипотеза Коллатца» [o1]. На удивление простой по виду задачке, дающей в высшей степени неожиданный ответ. Но вот строго доказать, почему ответ именно такой, никому из мудрейших математиков не удаётся уже почти сотню лет.

Публикация вторая — на страницах вебсайта Quanta Magazine — посвящена совершенно другой любопытной и важной задаче из области фундаментальной физики [o2]. Где суть вопроса формулируется не только просто, но и почти по-детски наивно: «Сколько в природе элементарных частиц?». Как это ни поразительно, но внятного и убедительного ответа на данный вопрос никто в нашей науке на сегодняшний день не знает.

Выражаясь аккуратнее, кто-то где-то, быть может, и знает. Но по каким-то секретным причинам предпочитает помалкивать…

Гадать на подобные темы представляется делом бессмысленным, особенно при отсутствии содержательных документов и свидетельств. Куда больше смысла в том, чтобы обратить внимание на синхронность появления двух этих очевидно независимых публикаций.

И затем — сопоставив дополнительные и достоверно известные данные — вдруг постичь неожиданную вещь. Постичь, что «гипотеза Коллатца» о странных свойствах целых чисел (публикация первая) — это и есть, в некотором глубоком смысле, верный ответ для труднейшей из загадок в физике частиц (публикация вторая).

#

Изящная арифметическая проблема, известная сегодня как «гипотеза Коллатца», появилась в науке в 1930-е годы. Когда германский математик Лотар Коллатц (Lothar Collatz) неожиданно наткнулся на загадку, которая при формулировке выглядела вроде бы элементарно простой, но в действительности оказалась невообразимо сложной.

Суть этой проблемы напоминает магическое волшебство (или занятный трюк фокусника — если кому-то не нравится слово магия). Для начала вам предлагается выбрать абсолютно произвольное целое положительное число — будь оно чисто случайное, или же почему-то любимое:

Если число нечётное, то умножьте его на 3 и прибавьте к результату 1.
Если же выбранное вами число чётное, то разделите его на 2.
Следующий шаг — примените это же правило к полученному результату.
Применяйте это же правило и далее…

Поразительный факт заключается в том, что при выполнении этой нехитрой операции достаточно долго вы ВСЕГДА будете получать в конечном итоге 1. Почему так? — не знает никто…

Иначе говоря, никому из великого множества мудрецов, включая самых выдающихся математиков, сколько бы они ни бились над этой задачей, так и не удалось строго доказать, почему ВСЕ целые числа сходятся здесь к 1 (это и есть суть гипотезы Коллатца).

Единственное, что доказано строго — это справедливость данного предположения для абсолютно всех тех чисел (включая и воистину гигантские), до обсчёта которых способны дотянуться современные суперкомпьютеры…

#

Великий учёный-теоретик Поль Дирак в 1930-е годы ещё ничего не знал про гипотезу Коллатца (она получит известность лишь после войны, в 1950-е). Но Дирак, всегда отличавшийся поразительной физико-математической интуицией [i1], уже в ту пору глубоко задумывался о важных и часто загадочных взаимосвязях между самыми строгими из точных наук. Или об «Отношении между математикой и физикой» [o3], как называлась первая из его «научно-философских» лекций для широкой публики, прочитанная в 1939 году.

Важные для нашей истории идеи из той лекции, нередко вспоминаемые и ныне, можно свести к следующим цитатам:

Можно сказать, что математик играет в игру, в которой он сам изобретает правила, в то время как физик играет в игру, правила которой предлагает Природа. С течением времени, однако, становится все более очевидным, что правила, которые математик находит интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа.

… [Как свидетельствуют новые достижения науки,] имеется возможность того, что когда-нибудь удастся осуществить древнюю мечту философов – связать всю Природу со свойствами целых чисел. Но чтобы сделать это, физике необходимо пройти долгий путь, устанавливая в деталях, как это соответствие должно выглядеть…

Гипотеза Коллатца, доказательство которой упорно не поддаётся математикам, – это, можно сказать, один из ключевых этапов на том долгом пути, который предвидел Дирак.

Ибо нет никаких сомнений, что правила гипотезы Коллатца — «двуделение/утроение с добавлением единицы» — для математиков выглядят в высшей степени интересными. Но вот то, что такие же правила избрала Природа при обустройстве мира элементарных частиц, – этот научный факт для физиков всё ещё остаётся неведомым, судя по всему…

#

Нынешняя статья в Quanta Magazine – «Так сколько же элементарных частиц, в самом деле?» – развёрнуто и с комментариями от специалистов рисует перед читателями ту весьма озадачивающую ситуацию с пониманием Природы, к которой привела теоретиков Стандартная Модель частиц. Трактуемая и поныне, согласно научному консенсусу, как «самая лучшая» из наших физических теорий.

Ибо Стандартная Модель физики частиц — это такой набор математических уравнений, которому (как принято считать) подчиняются все достоверно известные физикам элементарные частицы и их взаимодействия. Эта Стандартная Модель является «квантовой теорией поля» , то есть таким математическим описанием реальности, в котором основой Вселенной являются пронизывающие её квантовые поля. Волны возмущений, двигающиеся в этих полях, — это и есть то, что мы именуем элементарными частицами. Одни из этих частиц ведут себя как «материя», в то время как другие «передают силы взаимодействия».

Квантовые поля и связанные с ними частицы в Стандартной Модели являются основой всех известных науке физических феноменов, за исключением гравитации, тёмной материи и тёмной энергии. Все из феноменов-исключений, согласно логике квантовых полей, тоже имеют свои формы частиц на фундаментальном уровне. Но о них науке пока не известно по сути ничего, поэтому в статье они не рассматриваются никак.

Содержательная же часть статьи — в самом кратком пересказе — выглядит так.

На плакатах в учебных классах Стандартная модель изображается как 17 элементарных частиц. Из них 12 — это частицы материи, или «фермионы»: электрон, мюон и тау; три нейтрино; шесть кварков. Каждая из этих частиц имеет различную чувствительность к разным силам. Другая группа — четыре частицы-переносчика силы, или «бозоны»: фотон (передающий электромагнитную силу); бозоны W и Z (переносчики слабой ядерной силы); и глюон (переносчик сильных ядерных взаимодействий). Наконец, имеется бозон Хиггса, так называемая скалярная частица, не являющаяся ни материей, ни силой. Через взаимодействия с остальными частицами, бозон Хиггса наделяет их массой.

Общеизвестно, однако, что это далеко не вся картина. Для каждой из частиц материи, например, имеются античастицы. Если добавить их, в сумме получается 29. У W-бозонов и глюонов тоже имеются свои разновидности, так что общее число частиц увеличивается до 37. Если, аналогично, отдельно считать разные «цвета» и «ароматы» кварков-антикварков, то количество элементарных частиц возрастает до 61. Далее, поскольку хиральность и поляризация частиц могут радикально менять их место в физической картине, эти свойства увеличивают число «элементарных частиц» до 118.

Но и это далеко не всё. Логика математических структур в квантовой теории поля диктует различать частицы по степеням их свободы. Аккуратные же подсчёты степеней свободы для разных частиц стали выводить исследователей к совсем странным цифрам.

Было установлено, что квантовые поля допускают лишь очень конкретные, особенные значения для этого параметра. Скалярные поля, такие как поле Хиггса, могут иметь только 1 степень свободы. Для каждого из полей материи имеется 5½ степеней свободы. А для каждого из полей сил 62 степени свободы.

Каждое из этих чисел выведено сугубо математически из общего формализма, безотносительно к прочим особенностям частиц. Так что математика самой структуры привела к трём числам — 1, 5½, 62 — и никто не знает, почему природа их выбрала.

Ну а в конечном итоге, при перемножениях и складываниях получающихся чисел, для общего количества элементарных частиц ответ у физиков на сегодняшний день получается весьма озадачивающий: итого 995,5 .

Все согласны, что выглядит ответ очень и очень странно. Поэтому и статья заканчивается следующим резюме от авторитетного специалиста:

Здесь всё ещё много такого, чего мы очевидно не понимаем…

#

Одна из примечательных особенностей процитированной публикации — это её отчётливая сфокусированность исключительно на Стандартной Модели. Вообще без каких-либо упоминаний о теории струн, довольно долго считавшейся чуть ли не единственно возможным маршрутом развития физики частиц «за пределы СМ» [i2].

С одной стороны, игнорирование модной недавно темы вполне объяснимо, коль скоро теоретики струн сами себя погрузили в глубочайшую бездну кризиса. Обнаружив, среди прочего, тот неприятнейший факт, что математика уравнений их теории предсказывает невообразимое число порядка 10⁵⁰⁰ для количества возможных вселенных с самой разной физикой. Но при этом нет никакой возможности извлечь из этого разнообразия физику той вселенной, в которой обитаем мы.

С другой стороны, однако, именно в теории струн — точнее, в М(ембран)-теории Эдварда Виттена [i3] — давно предоставлен весьма элегантный ответ для озадачивающего итога нынешних подсчётов частиц в СМ (итога, напоминающего детский стишок Маршака: И вышло у меня в ответе — два землекопа и две трети).

«5½ степеней свободы для каждого из полей частиц материи» — это иная формулировка для такой картины мира, где пространство представляет собой две пятимерные мембраны, разделённые ещё одним, «общим» для них 11-м измерением. Смещаясь по этому измерению, 5D-мембраны в своих вибрациях постоянно сходятся-расходятся, благодаря чему при их схлопываниях возникает (и тут же исчезает) 2D-мембрана «конформной теории поля».

Поскольку каждая из частиц материи (согласно идеям Паули и Дирака [i4]) является раздвоенной, одновременно обитая на двух соседних мембранах, компоненты частиц — через фазу 2D — постоянно меняются местами на 5D-бранах. По этой причине в 11-мерной M-теории Виттена браны размерностей 5 и 2 играют совершенно особую роль.

Но вот всю остальную динамику этой картины — постоянное схождение/расхождение бран с перескоками частиц с одной браны на другую — в её полном виде наука наша пока почему-то не разглядела. Все элементы этой конструкции уже обнаружены и описаны, но только по частям, отдельно друг от друга. [i5]

По этой же, по сути, причине и в Стандартной Модели до сих пор видят лишь половину 11-мерной картины. Отчего и число степеней свободы у полей материи остаётся 5½…

#

Вернёмся, однако, к главному вопросу нашей истории:

Почему и как гипотеза Коллатца даёт верный ответ для одной из «детских», но труднейших загадок фундаментальной физики?

Иначе говоря, почему при всех подсчётах числа элементарных частиц во вселенной мы в конечном итоге всегда будем приходить к 1?

Пока что трудно увидеть, как именно наука наша это докажет. Но зато очень хорошо известно, как выглядит итоговый ответ. А самое главное, уже вполне можно продемонстрировать, почему этот ответ является верным.

Демонстрируется этот факт с помощью так называемой «парадигмы Клиффорда-Паули-Дирака» или кратко КПД. Краткости ради, здесь не будет развёрнутых объяснений, что представляет собой КПД — как парадигма фундаментальной науки, с опорой на которую сознание и материя сводятся в единую, неразрывную и согласованную систему. Ибо про это уже не раз рассказывалось ранее [i6].

Здесь же рассказ вполне можно ограничить ключевыми «идеями классиков» — в их сопоставлении с результатами современными. И с дополнением, ясности ради, ссылками на материалы, развёрнуто поясняющие, что всё это значит для прогресса науки.

Уильям Клиффорд (1845-1879)

Непосредственно перед безвременной кончиной, оборвавшей жизнь великого учёного в 33 года, Клиффорд одновременно работал над математической формализацией своей концепции mind-stuff (материя разума) и над книгой «Здравый смысл точных наук» . Ни то, ни другое, к сожалению, довести до конца смерть ему не позволила, Но благодаря друзьям и последователям книгу, по крайней мере, в более-менее целостном виде выпустить удалось. [i7][o4]

Полстолетия спустя открытия новой физики XX века потребовали от теоретиков существенно нового математического инструментария. Из-за чего молодым и гениальным «отцам» квантовой механики — сначала Паули, затем Дираку и Майоране — пришлось для описания физики частиц самостоятельно переизобрести нужные им фрагменты аппарата геометрических алгебр Клиффорда (к тому времени практически полностью уже забытого). [i8]

От здравого смысла точных наук, как всем известно, в квантовой физике решили отказаться с самого начала, но ныне хотя бы начали возвращаться [i9]. Что же касается описания физики и геометрии сознания в терминах mind-stuff и клиффордовых алгебр, до до этого, к сожалению, дело вообще так и не дошло. Ни тогда, ни по сию пору.

Вольфганг Паули (1900-1958)

Одна из важнейших научных идей Паули, разработкой которой он активно занимался в послевоенный период, сводилась к поиску путей для сведения материи и сознания в единое целое:

«Когда люди говорят ‘реальность’, они обычно полагают, что речь идёт о чем-то самоочевидном и хорошо всем известном; в то время как для меня это представляется наиболее важной и в высшей степени сложной задачей нашего времени – заложить новую идею реальности» [o5] … «и самое оптимальное, если бы физика и душа представлялись как комплементарные аспекты одной и той же реальности». [o6]

«По моему личному мнению, в будущей науке реальность не будет ни ментальной, ни физической, а каким-то образом обеими из них сразу, и в то же время ни той или другой по отдельности»…[o7]

Приведённые цитаты особенно интересны при их сопоставлении с намного более поздними, собственными наблюдениями и идеями от видного российского математика Юрия Манина (профессионального теоретико-числовика и физика-любителя, как он сам выражался). Размышляя в конце 1980-х об отчётливо заметном и неожиданном почти для всех возрастании роли арифметики (теории чисел) в успехах физики, Манин пришёл к следующему заключению:

На фундаментальном уровне наш мир не является ни вещественным, ни р-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи (возможно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проецируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проецировать ее в неархимедову сторону и вычислять наиболее важные вещи арифметически.

«Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительности, напоминающем отношение комплементарности между сопряжёнными наблюдаемыми в квантовой механике. [o8]

Даже для людей, смутно (или вообще никак не) представляющих себе, что означают термины профессионалов для чисел типа «адели» и «p-адические», и причём здесь «неархимедова» сторона реальности, всё равно несложно ухватить общую траекторию в ходе размышлений Паули и Манина.

О том, насколько верно тут ухвачена суть неразрывного единства мира материи и мира сознания, и о том, в частности, насколько возрастает роль теории чисел для совокупного изучения общей физики двух миров, с подробностями рассказано в материалах «Сад сходящихся троп: Манин и Паули, Дирак и Шольце», «Числа» и «Формы» [i10].

Поль Дирак (1902-1984)

О предчувствиях Поля Дирака, сильно заранее предвидевшего возрастание роли теории чисел для физики, выше уже было сказано. Теперь же — в контексте «здравого смысла точных наук» — полезно сопоставить эти его идеи с одним любопытным методом вычислений под названием «Монте-Карло». Который для решения неподъёмно сложных физических задач придумали и разработали два известнейших математика, Станислав Улам и Джон фон Нейман.

В тех частых для науки ситуациях, когда точный ответ вычислить просто невозможно из-за бесконечно большого числа возможных значений на входе и выходе, метод Монте-Карло оказался в высшей степени полезным инструментом. Поясняя суть их изобретения, Станислав Улам сформулировал это так:

Я перефразировал бы одно из утверждений Лапласа. Он говорил, что теория вероятностей — это ни что иное, как приложение математического анализа к здравому смыслу. Тогда метод Монте-Карло — это приложение здравого смысла к математическим формулировкам физических законов и процессов. [o9]

Иначе говоря, здравый смысл подсказал математикам, что если в лоб обсчитать физическую задачу невозможно, имеет смысл случайным образом выбрать поддающееся обсчёту множество значений на входе, а затем, грамотно обработав результаты, отыскать наиболее вероятное значение на выходе. Его и считая ответом для задачи — пусть и не строго точным, но правильным с такой вероятностью, которая физиков устраивает.

#

И теперь, проецируя все эти идеи на взаимосвязи между гипотезой Коллатца и числом элементарных частиц во Вселенной, остаётся лишь напомнить, что в науке имеется мощная концепция, идущая от великих математиков Эйлера, Пуанкаре и Арнольда. Согласно этой концепции ВСЯ математика является частью экспериментальной физики. То есть науки о свойствах Природы. [i2]

А это означает, соответственно, внимательное отношение к следующим доводам КПД и здравого смысла точных наук.

Монте-Карло и открытие Атьи-Зингера. Если применять метод Монте-Карло в обратную сторону — из физической области в чистую математику — то естественно признать, что ЛЮБОЕ целое число всегда сходится к 1 при достаточном числе итераций «двуделение/утроение плюс 1». И это утверждение является доказуемо верным с абсолютно любой доступной для вычислений надёжностью.

Другая проекция — из чистой математики в физику. Математики Майкл Атья и Изадор Зингер в 1960-е годы продемонстрировали, что у множества математических областей, прежде считавшихся разными, обнаруживаются общие корни. Причём в самой сердцевине этих корней оказался весьма особенный инструмент-оператор, порождающий как генератор всю прочую математику.

Самым же поразительным фактом является то, что именно этот оператор-генератор был открыт за 30 с лишним лет до этого в физике Полем Дираком. Как математическая основа его знаменитого уравнения, объединившего квантовую волновую механику, феномен спина частиц и эффекты теории относительности… [i1]

Формула Фройнда-Виттена. В конце 1980-х годов физики-теоретики Эд Виттен и Питер Фройнд вывели важную формулу, объединившую обычную квантовую механику с математикой р-адических и адельных чисел [o10]. Было показано, что волновая функция, описывающая эволюцию частицы в квантовой механике, может быть представлена как произведение волновых функций р-адических струн.

Иначе говоря, энергия обычной квантовой частицы представляет собой совокупность энергий её р-адических компонентов. А эти компоненты, соответственно, по своей структуре представляют собой бесконечные ряды простых чисел… (Простые числа, делящиеся лишь на себя и 1, именуют «атомами» мира арифметики, поскольку для любого числа есть единственный способ его представления в виде произведения простых чисел .)

Дуальность частица-вихрь. Если применять методы теории струн/бран к задаче количества частиц в квантовой теории поля, то естественно обратиться к достоверно установленному факту так называемой «дуальности частица-вихрь» [i11]. Установлено, иначе говоря, что в конечном счёте как все «струны» (открытые и замкнутые), так и все частицы в терминах Стандартной Модели (фермионы и бозоны) можно математически свести к одному и тому же объекту. А именно, к математическому описанию вихревого движения в жидкости.

Турбулентность Навье-Стокса. Занятную гидродинамическую иллюстрацию, наглядно демонстрирующую физическую суть математического единства в Природе, предоставляет исследовательская работа 1991 года под таким примерно названием: «Моделирование турбулентности Навье-Стокса в течение продолжительного времени» [o11].

Нелинейные дифференциальные уравнения Навье-Стокса являются важнейшим инструментом науки при решении задач, связанных с движением жидкости. Однако отыскивать точные решения для этих очень сложных уравнений как правило не удаётся. Поэтому уравнения так или иначе упрощают, чтобы решать их аналитическими методами или вычислительными экспериментами.

В интересной для нас работе представлены результаты компьютерного моделирования задачи о том, каким образом в течение длительного времени ведёт себя турбулентность большого множества вихрей — разных, одинаковых, любых.

Представленная череда графиков наглядности ради демонстрирует в 3 измерениях результаты 2D-моделирования поведения системы, первоначально представляющей собой случайную и совершенно беспорядочную совокупность вихрей на поверхности (вихри, вращающиеся в одну сторону, отображены по вертикали вверх, вращающиеся в другую сторону – вниз).

С течением времени происходит «упрощение топографии»: более крупный вихрь поглощает соседа, вращающегося в ту же сторону, отчего приобретает дополнительную энергию и становится ещё крупнее. Финальным состоянием этой динамики (количество итераций-пересчётов t=292) оказывается довольно неожиданная для исходного хаоса картина сингулярности. Где почти вся энергия системы в итоге сосредоточена в двух отдельных вихрях противоположной направленности.

Кроме того, отмечают авторы исследования, на поздних фазах модели происходит «появление у вихрей признаков поведения, подобного частицам»…

Голография в космологии Малдасены. Завершая это сопоставление фактов, демонстрирующих единство Природы, осталось напомнить голографические идеи «космологии Малдасены» , как ещё одной из естественных основ парадигмы КПД [i6].

Базовой идеей голографического принципа является то, что элементарные частицы — это «чёрные дыры» микромира, а космологические чёрные дыры — это, соответственно, «элементарные частицы» макро-космоса Вселенной.

Ключевой же идеей в «космологии Малдасены» , выстроенной на основе голографического принципа, является структура из пары сцепленных «вечных дыр-сингулярностей». Где из одной дыры — «белой» — все частицы-дыры вселенной появляются и эволюционируют, а затем в итоге вновь исчезают в дыре другой , «чёрной» . Чтобы начать следующий цикл нескончаемой эволюции.

Как эволюции «всего из 1 и обратно к 1» …

# # #

Дополнительное чтение:

[i1] Самый странный человек (2014)

[i2] Природа самообмана в точных науках (2018)

[i3] Эдвард Виттен как Гаусс сегодня (2021)

[i4] Нейтрино и Паули: конец истории как новое начало (2023)

[i5] Раздвоение и уменьшение симметрии, или ОЧП рассказала (2022)

[i6] Физика и реинкарнация ; Время как гидродинамика сцепленности ; Невидимый колледж

[i7] Путь Клиффорда (2020)

[i8] Четыре разума и одна большая память (2023)

[i9] Время искать ответы (2012)

[i10] Сад сходящихся троп: Манин и Паули, Дирак и Шольце (2020) ; Там За Облаками: Числа и Формы (2013)

[i11] Вихри и знаки перемен (2016) ; Живая материя как дуальность частица-вихрь (2022)

# #

Основные источники:

[o1] The maths meme that has been distracting mathematicians for a century. By Jacob Aron. New Scientist, 13 June 2026, p.18. Online version at newscientist.com

[o2] How Many Elementary Particles Are There, Really? By Natalie Wolchover. Quanta Magazine, June 15, 2026

[o3] P. A. M. Dirac, The Relation between Mathematics and Physics // Proc. Roy. Soc. Edinburg. A. 1938-1939. V. 59. P. 122-129. Русский перевод: Отношение между математикой и физикой, в Собрании научных трудов ПАМ Дирака, Том 4 (лекции, научные статьи 1937-1984 гг.) ФизМатЛит, 2005

[o4] W.K. Clifford (1885), The Common Sense of the Exact Sciences. London: Kegan Paul, Trench and Co. Имеется русский перевод: Клиффорд. Здравый смысл точных наук. https://files.4in1.ws/CPD-Library

[o5] Pauli to Fierz, 12 Aug 1948, PLC III (Wolfgang Pauli: Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a. ed. Karl von Meyenn. Vol 3. Springer-Verlag)

[o6] Pauli, W: Der Einfluss archetypischer Vorstellungen auf die Bildung naturwissenschaftlicher Theorien bei Kepler (1952). English translation in: C.P. Enz and K. von Meyenn (eds.), Wolfgang Pauli. Writings on Physics and Philosophy, Springer, Berlin 1994

[o7] Pauli to Pais, 17 Aug. 1950, PLC IV/1 (K. v. Meyenn, ed.: Wolfgang Pauli, Wissenschaftlicher Briefwechsel, Springer-Verlag, Vol IV, 1996)

[o8] Манин Ю.И. Размышления об арифметической физике. В книге «Математика как метафора». Москва. МЦНМО, 2008. http://math.ru/lib/484

[o9] S. M. Ulam. Adventures of a Mathematician. University of California Press, 1976. Имеется русский перевод.

[o10] P. G. O. Freund, E. Witten. Adelic string amplitudes. Phys.Lett. B, 199 (1987), 191–194

[o11] Matthaeus, Stribling, Martinez, Oughton and Montgomery (1991), Decaying, two-dimensional, Navier-Stokes turbulence at very long times. Physica D, 51, pp. 531-538
#