Как в жизни, так и в науке мы постоянно сталкиваемся с удивительными совпадениями. Не имея объяснения происходящему, люди, как правило, предпочитают называть подобные вещи «случайностями». Более внимательное отношение к таким совпадениям, однако, выводит науку к существенно иному взгляду на мир и его устройство…
Известная народная мудрость гласит, что во всякой научной дисциплине собственно науки имеется столько, сколько в ней математики. Ибо только строгость математических доказательств обеспечивает всевозможным теориям учёных мудрецов действительно прочный научный фундамент.
Так оно на самом деле или не так – можно спорить, конечно. Неоспоримые факты жизни таковы, однако, что даже самые точные из наших наук, начиная с физики и математики, содержат в своих базовых основах такие удивительные вещи, которые не только не поддаются никаким объяснениям, но и вообще противоречат друг другу. Причём доказывается это, естественно, математически самыми строгими методами…
О фундаментально важных, но никак не объяснимых для науки вещах в основах математики удобнее рассказывать в отдельной истории. А здесь — для начала рассказа о загадках в основах физики — лучше всего подходит совсем свежая публикация из июльского выпуска журнала «Успехи физических наук». Где несколько парадоксально разбирается не то чтобы «успех», а скорее наоборот – о-очень старая и по сию пору никак не решённая проблема на стыке квантовой физики и теории относительности.
Иначе говоря, на стыке двух самых главных для науки теорий, образующих фундамент всей современной физики – и в то же самое время вопиюще не согласующихся друг с другом. Учёные-профессионалы уже давно привыкли к престранному факту неразрешимых противоречий в базовых основах их научной картины, и потому, наверное, даже не упоминают об этом в своих нынешних публикациях про застарелые частные проблемы и загадочные совпадения. А может, и правда уже просто не видят тут отчётливых взаимосвязей.
Как бы там ни было, свежая статья под названием «Ошибался ли Зоммерфельд?» (УФН, Июль 2020) предоставляет вполне подходящую стартовую позицию для небольшого, но содержательного «обзора совпадений». Самых разных удивительных совпадений, длинной чередой пронизывающих всю математику формул в лучших из физических теорий XX века.
С поразительным упорством эти совпадения трактуются в науке как «случайности». В особо выдающихся ситуациях – как необъяснимое математическое «чудо». А совсем уж в редких случаях – ещё и как «ошибки»…
Конкретное совпадение в основе нашего сюжета – именно из того экзотического разряда формул, для правильного восприятия которых разные авторы привлекают все три типа подобных как бы «объяснений».
Чудо, ошибка или случайность?
В своём полном виде название нынешней публикации УФН звучит так: «Ошибался ли Зоммерфельд? К истории появления спина в релятивистских волновых уравнениях».
Пересказывать содержание научно-методической статьи из серьёзного журнала здесь вряд ли целесообразно, коль скоро для тех, кто понимает формулы, свободно доступен оригинал публикации, а для всех прочих людей, далёких от математической физики, это будет вряд ли увлекательное чтение.
Но при этом представляется всегда нужным и полезным в популярном виде рассказывать об истории появления в науке тех важных своей значимостью формул, что по сию пору сильно озадачивают учёных странным и загадочным происхождением. Уравнений таких в физической науке довольно много, если присмотреться, а одно из самых видных и почётных мест в этом ряду как раз и занимает «формула тонкой структуры» от Арнольда Зоммерфельда, о которой пойдёт сейчас речь.
Появилась эта замечательная формула свыше ста лет тому назад, в далёком 1916 году. Когда научный мир только-только, считай, познакомился с новой теорией молодого датчанина Нильса Бора, объединившего теорию квантов Планка с планетарной моделью Резерфорда для орбит электронов и устройства атомов.
Хорошо объяснив простейший – одноэлектронный – случай для дискретных спектров при поглощении / излучении энергии в атоме водорода, теория Бора быстро столкнулась с неразрешимыми проблемами при попытках объяснения физики любых чуть более сложных систем. Вот тут-то очень кстати и появилась теория Зоммерфельда о тонкой структуре, модифицировавшая в модели Бора циркулярные орбиты электронов к виду эллиптических, а движения по этим орбитам вычислявшая с учётом релятивистских эффектов большой скорости.
Иными словами, Арнольд Зоммерфельд первым в истории физики объединил две новых и фундаментально важных идеи XX века – квантовую теорию и теорию относительности – в одну математическую формулу. Причём формула эта сразу же продемонстрировала научному миру свою верность, аккуратно объяснив – или математически предсказав – появление тех особенностей-расщеплений в спектрах излучения атомов, что стали именовать тонкой структурой спектральных линий.
Теория Зоммерфельда-Бора для своего времени была несомненным и впечатляющим успехом. Однако уже через несколько лет вокруг этого достижения начали отмечаться и весьма странные вещи. Например, когда Шведская академия наук решила отметить успехи теоретиков-создателей новой физики своей высокой наградой, то Нобелевской премии были удостоены сначала Макс Планк (1918), затем Альберт Эйнштейн (1921), затем Нильс Бор (1922), а вот Зоммерфельда почему-то здесь обошли. К великому, надо отметить, недоумению учёных коллег, хоть как-то осведомленных о сути достижений науки в этой области.
Самое же удивительное, однако, обнаружилось тут к концу 1920-х годов. Когда вместе с появлением квантовой механики, то есть существенно новых и намного более эффективных подходов к квантовой физике, стало ясно, что верное уравнение тонкой структуры каким-то непостижимым образом появилось там и тогда, где и когда быть его вроде как не должно бы…
Если чуть подробнее, то через 12 лет после формулы Зоммерфельда, в 1928 году было открыто релятивистское уравнение Дирака, в котором идеи теории относительности математически объединились с квантовой теорией существенно иначе и с особой ролью новых концепций, таких как волновые свойства материи и спин квантовых частиц. Это был не только теоретический прорыв к принципиально новому уровню физики, но и такая математика уравнений, из которой давняя формула Зоммерфельда выводилась легко и совершенно естественным образом.
Но одновременно стало ясно и то, что Зоммерфельд задолго до Дирака каким-то чудесным образом угадал правильное уравнение, исходя из неверных, фактически, предпосылок. Теория тонкой структуры 1916 года работала с электроном, вращающимся по эллиптической орбите вокруг атомного ядра. В теории Дирака эллиптические орбиты электрона не только не принимаются в расчёт, но и сама концепция «орбиты» вообще не имеет никакого смысла. Что же касается спина и волновых свойств частиц, принципиально важных в уравнении Дирака, то Зоммерфельд просто никак не мог о них знать за десяток лет до появления этих концепций в физике.
Столь удивительное совпадение не могло, конечно же, не озадачивать компетентных современников, понимающих глубину проблемы с чётким соответствием формул. Например, в 1948 году, в своём эссе по случаю 80-летия Зоммерфельда, его знаменитый ученик и один из отцов квантовой механики Вольфганг Паули написал так: «Это воистину поразительно, что исходная формула Зоммерфельда 1916 года для энергетических уровней может быть выведена из новой теории Дирака, принимающий в расчёт спин электрона«.
Еще двадцать лет спустя, в 1968, когда отмечалось столетие Зоммерфельда, его другой великий ученик из плеяды отцов новой физики, Вернер Гейзенберг, также выразил своё изумление:
«Но словно какое-то чудо, формула Зоммерфельда, вычисленная для сферически симметричного электрона на базе старой и неадекватной квантовой теории, также предоставила точное решение для квантово-механической релятивистской теории спинирующего электрона. Было бы воистину стимулирующим делом – исследовать, действительно ли это подлинное чудо, или же, быть может, для данной проблемы имеется некая структура в теории групп, лежащая в основах выводов Зоммерфельда и Дирака, и сама по себе приводящая к этой формуле.»
Автор научной биографии Зоммерфельда, германский физик Михаэль Экерт в комментариях к этим цитатам обращает внимание читателей на то, что никто из упомянутых светил, ни сам Зоммерфельд, ни Паули, ни Гейзенберг так никогда и не занялись всерьёз этим «стимулирующим делом».
Другие видные теоретики, с другой стороны, потратили немало сил и времени на эту проблему – но в итоге так и остались озадаченными данным совпадением. Например, у историков науки имеется письмо Эрвина Шрёдингера 1956 года, где он приходит к заключению, что «вывод Зоммерфельда для формулы тонкой структуры только лишь случайно предоставляет результат, требуемый экспериментом«.
В связи с этим мнением от знаменитого светила интересно отметить, что ныне загадочную правильность формулы Зоммерфельда принято объяснять по той же, фактически, схеме, каким образом объясняют загадочную правильность волнового уравнения и самого Шрёдингера. То есть того самого фундаментального, волнового уравнения квантовой механики, что лежит в основах не только всей современной химии, но и очень большой части новой физики.
Открытое в начале 1926 года, волновое уравнение Шрёдингера с одной – практической – стороны, давало точные расчёты и предсказания для результатов экспериментов, а со стороны другой – теоретической – никак не могло быть правильным. Потому что в нём вообще никак не учтены две важнейшие вещи: релятивистские эффекты и квантовый спин частиц. А поскольку математика шрёдингерова уравнения, как ни крути, работает отлично, объяснять этот успех принято как чудесное (или случайное) совпадение. Благодаря которому эффекты спина частиц полностью компенсируются здесь релятивистскими эффектами движения.
Та же самая по сути логика привлекается ныне и для объяснения правильности уравнения тонкой структуры. Разница лишь самая минимальная: здесь объяснение Зоммерфельда представляется успешным по той причине, что отсутствие в нём волновой механики и отсутствие спина в точности взаимно скомпенсировали друг друга…
Далеко не всем, конечно же, такое объяснение поразительных совпадений кажется естественным. Кто-то, например, пытается трактовать успех Зоммерфельда и сильно иначе – как «ошибку» выдающегося теоретика, подставившего в свою формулу не те значения параметров. Разбору очевидных слабостей в подобной аргументации посвящена, в частности, и нынешняя статья «Ошибался ли Зоммерфельд?» в журнале УФН .
Здесь же пора перейти к рассказу о том, насколько большим и впечатляющим в действительности является перечень удивительных «чудес и случайностей» в формулах современной физики.
Длинный и растущий список необъяснимых совпадений
Далеко не полный обзор тех удивительных своим появлением формул, что лежат в основах всей новой физики XX века, совершенно естественно начать с уравнений Максвелла, открытых в 1865 году и впервые позволивших объединить электричество с магнетизмом. А заодно встроить в эту единую картину ещё и физику света, коль скоро и свет оказался электромагнитными волнами.
Важнейшей особенностью его формул стало то, что Максвелл ввёл в математику уравнений параметр действия некоего загадочного «тока смещения». Загадочного настолько, что о физическом смысле этого «тока» учёные продолжают спорить вплоть до нынешних дней. Ибо это как бы «такое движение электрического заряда, при котором никакого движения не происходит».
Все понимают, что это крайне мутное «объяснение», однако именно ток смещения обеспечил Максвеллу сведение электричества, магнетизма и света в стройную целостную картину. А кроме того, спустя несколько десятилетий, вместе с приходом в физику специальной теории относительности Эйнштейна, неожиданно вдруг выяснилось, что загадочный ток смещения играет ещё и роль «релятивистской поправки», обеспечивающей надёжную работу уравнений Максвелла при любых скоростях зарядов.
Внятно объяснить, как это могло произойти, оказывается чрезвычайно сложно. Просто получается так, что благодаря «математическому чуду» (или поразительному «случайному совпадению», если угодно) Джеймс Клерк Максвелл заранее предсказал появление релятивистских эффектов – примерно за полстолетия до того, как физика освоит идеи теории относительности и уверенно встанет на позиции релятивизма.
#
В 1919 году, когда позиции новой релятивистской физики Эйнштейна существенно укрепились благодаря убедительной экспериментальной проверке, одновременно произошло и ещё одно удивительное «математическое чудо» в теоретической области.
Совершенно безвестный прежде математик Теодор Калуца расширил 4-мерную систему уравнений Эйнштейна для гравитации, иначе именуемую Общей теорией относительности или ОТО, до случая 5-мерного пространства-времени. И обнаружил там воистину поразительные вещи. Оказалось, что при математическом переходе в пятимерный мир те же самые уравнения Эйнштейна содержат в себе не только уравнения гравитационного взаимодействия масс и энергий, но также и уравнения электромагнетизма Максвелла.
Иными словами, в некотором очень глубоком смысле все разнообразные феномены гравитации, электричества, магнетизма и света имеют, похоже, одну и ту же природу происхождения. И в 5-мерном мире выглядят как разные проявления одного и того же. Но только для того, чтобы понять это самое «одно», требовалось прежде постичь, что может физически представлять собой пятое измерение пространства-времени, нами воспринимаемое как совершенно недоступное для наблюдений и опытов.
Заключая свою статью об этом удивительном математическом открытии, Теодор Калуца с присущей учёным осторожностью написал так:
«Очень трудно примириться с мыслью, что все эти соотношения, которые вряд ли можно превзойти по достигнутой в них степени формального единства, – всего лишь капризная игра обманчивой случайности».
Хорошо известно, что Эйнштейн чрезвычайно впечатлился математическими результатами Калуцы и был уверен, что это никак не может быть просто случайным совпадением. Поэтому затратил не только огромное количество личных усилий, но и несколько десятилетий последующей работы в попытках создания единой 5-мерной теории для всех взаимодействий в природе.
В итоге, правда, все такие попытки оказались абсолютно безрезультатными. Как для Эйнштейна, так и для всех остальных теоретиков. Включая и Оскара Клейна.
#
Хотя математические достижения Оскара Клейна в области 5-мерной физики по очень давней традиции принято объединять с открытиями Калуцы под общей вывеской «теория Калуцы-Клейна», здесь имеет смысл рассказывать об их работах подчёркнуто раздельно.
Потому что это очень яркий случай ещё одного в высшей степени примечательного совпадения. Двух больших научных открытий, сделанных совершенно независимо друг от друга разными людьми примерно в одно и то же время. И при этом с существенно разных сторон пришедших, по сути, к одному и тому же поразительному результату. Но вот как понимать столь чудесный результат, этого вся наша наука не может объяснить вплоть до сегодняшнего дня.
Суть принципиальных отличий в работе Клейна была в том, что он занимался расширением математики уравнений ОТО до 5-мерного случая не с классических позиций, как это делал Калуца, а с позиций квантовой теории. Взяв на вооружение новейшую по тем временам идею Луи де Бройля о волновых свойствах квантовых частиц, Клейн в 1925 году применил её к 5-мерному расширению уравнений ОТО. И получил в результате поразительный математический результат – ту самую формулу, которая спустя несколько месяцев станет известна как «волновое уравнение Шрёдингера».
Иными словами, Клейн математически показал, что уравнение частицы как волны для условий абстрактного 5D-пространства при переносе в более привычный нам мир с меньшим числом измерений можно свести к примечательно компактному уравнению квантовой механики. Точно такую же формулу, что удивительно, Шрёдингеру вскоре удастся вывести с опорой на совершенно другие идеи о математических аналогиях между оптикой и механикой.
По целому ряду личных причин Оскар Клейн не решился опубликовать этот свой революционный результат (о чём впоследствии жалел всю жизнь), а для печати в журнале подготовил несколько позже, в 1926 году, иную версию формулы из своих 5-мерных изысканий – принимающую в учёт эффекты релятивистской физики и ныне известную как уравнение Клейна-Гордона.
Главным вкладом Вальтера Гордона здесь стало то, что он вскоре показал, каким образом то же самое волновое уравнение можно выводить в обычных условиях, то есть без опоры на загадочное пятимерие. (По иронии судьбы Эрвин Шрёдингер своими собственными методами – и раньше Клейна – тоже получил это релятивистское уравнение, однако публиковать формулу не стал, поскольку её предсказания не соответствовали данным экспериментов для частиц с ненулевым спином).
Итогом же всей этой несколько запутанной истории стало вот что. Аналогично тому, как Теодор Калуца сделал это чуть ранее для классической физики, Оскар Клейн математически показал, что и в квантовой теории базовые формулы электромагнитных взаимодействий можно выводить из эйнштейновых уравнений ОТО для гравитации. Всё, что для этого требуется – это перейти в пятимерное пространство-время и предположить, что планковские кванты энергии порождаются в процессе осцилляций частиц по пятому измерению.
Как и в случае с «чудом Калуцы», всем понимающим эту математику людям было крайне сложно принять, что столь замечательные совпадения формул появились здесь случайно. Вот только с позиций физических представлений об устройстве природы никто так и не сумел дать внятного и убедительного объяснения тому, как трактовать всегда ненаблюдаемое для нас пятое измерение.
Точнее говоря, в науке общепринято считать, что раз Клейн фактически сразу же и предоставил такое объяснение – замкнув 5-е измерение в микроскопически крошечные кольца внутри частиц – то оно как бы и единственное. Проблема в том, что ничего хоть сколько-нибудь значительного для понимания и прогресса в физике реального мира из такой интерпретации вывести не удалось совершенно.
Но имеется ведь, в действительности, и существенно иное объяснение. Причём имеется давно…
#
В 1935 году Альберту Эйнштейну в содружестве с молодым коллегой Натаном Розеном удалось открыть новое, совершенно замечательное и чудесное математическое совпадение в мире 5-мерной физики. Было обнаружено, что хорошо уже известное в ту пору решение для гравитационных уравнений ОТО – так называемая «метрика Шварцшильда» – также оказывается ещё и решением для уравнений электромагнетизма Максвелла. Но только в условиях весьма специфического – раздвоенного – устройства в геометрии пространства-времени.
Суть же этого специфического раздвоения заключается в том, что геометрия вселенной представляет собой два параллельных 4D-листа пространства-времени, которые повсюду через пятое измерение соединены друг с другом микроскопическими трубками-перемычками или «мостами», как назвали их Эйнштейн и Розен. Концы же этих трубок – или «мостов ЭР» – на листах каждого из двух пространств представляются нам элементарными частицами материи. Такими частицами, математическое описание которых одновременно подходит для решения как уравнений гравитации, так и уравнений электромагнетизма.
Большая и странная история о том, что происходило в науке далее с этим великим открытием теоретиков, выходит далеко за рамки данного рассказа. Массу содержательных подробностей и ссылок по теме можно найти в материале «Микромосты Эйнштейна-Розена и большая ложь Википедии» .
Здесь же вполне достаточно отметить лишь итог. Суть которого в том, что коллеги-учёные поначалу открытие просто проигнорировали, а когда наконец вспомнили и начали через несколько десятилетий разрабатывать, то назвали это существенно по-новому – космологические «кротовые норы», как тоннели для быстрых гипотетических перемещений в пространстве. Иначе говоря, саму суть открытия – «частица как мост» – из этой картины фактически выбросили…
#
Дабы перечень чудесных или случайных совпадений в формулах физики не становился изнуряюще длинным, в истории послевоенной науки придётся выделить лишь одно – принципиально важное – достижение теоретиков под названием «перенормировка». Ибо теория перенормировки, позволившая физикам избавиться от кошмара бесконечно больших и потому бессмысленных величин в их расчётах, стала тем математическим фундаментом, на основе которого выстроена, фактически, вся Стандартная Модель частиц. То есть главное достижение фундаментальной физики во второй половине XX века.
Одновременно, однако, эта же теория заблокировала для исследователей пути к самосогласованному объединению квантовой теории с теорией гравитации, ибо математические подходы Стандартной Модели частиц совершенно не работают для уравнений ОТО Эйнштейна. А кроме того, те математические преобразования с формулами, что позволили создателям перенормировки избавиться от бесконечностей в своих расчётах, уже очень трудно называть «математическим чудом».
Здесь, скорее, подходит название «математическое трюкачество» . Устраиваемое с помощью таких фокусов, которые обычно было принято считать недопустимыми как в строгой математике, так и в куда более либеральной математической физике. В подходах перенормировки, однако, с фокусами «взаимного уничтожения бесконечностей» всем пришлось смириться, потому что новые формулы стали давать не просто верные предсказания, а предсказания для результатов опытов и наблюдений с прежде совершенно небывалой в физике точностью.
Споры о том, почему заведомо «неправильно» выведенные формулы прекрасно подходят для работы с экспериментальными данными, продолжаются вплоть до сегодняшнего дня. Мнения на этот счёт у светил науки имеются самые разные, но хорошо известно, к примеру, что один из главных отцов квантовой физики Поль Дирак, превыше всего ценивший математическую красоту уравнений, к методам перенормировки относился в высшей степени отрицательно, считая их просто «уродством».
Не имея никакого объяснения, однако, для причин бесспорного успеха новых уравнений, Дирак высказывался так:
Вы могли бы спросить, не следует ли уже сейчас чувствовать полную удовлетворённость в отношении квантовой электродинамики в связи с её огромными успехами в описании результатов наблюдений. Так вот, я чувствую, что успехи эти в основном обусловлены случайностью. […] Кажется, случайности такого рода бывают при поисках понимания Природы.
Нобелевская премия и её разные стороны
Есть какая-то странная и трудноуловимая ирония судьбы в том, что год 1965 – год столетия теории электромагнетизма Максвелла – в области Нобелевских премий по физике был отмечен присуждением высших научных наград Томонаге, Фейнману и Швингеру. Трём теоретикам, которые независимо друг от друга сделали решающий вклад в триумф теории перенормировки, создав на её основе новый математический аппарат для квантовой электродинамики. А далее, как выяснится, и для всей Стандартной Модели.
Ирония этой ситуации не только в том, что вся физика за сто лет своего успешного развития после Максвелла так и не сумела найти удовлетворительного объяснения для его «тока смещения» в основах электродинамики – как единой теории для материи, электричества, магнетизма и света. Но также и в том ещё, что математические методы перенормировки, развитые нобелевскими лауреатами 1965 года, в принципиально важном смысле опираются на так называемую «константу тонкой структуры», впервые появившуюся в том самом уравнении Арнольда Зоммерфельда, с которого начался этот рассказ.
Причём проницательный Зоммерфельд уже тогда, в начале XX века выражал уверенность, что роль и значимость этой важной константы вместе с углублением физиков в тайны материи будут непременно возрастать. Самое же поразительное здесь то, что хотя уравнение тонкой структуры Зоммерфельда было далеко не единственным из его больших достижений в науке, Нобелевскую премию он так никогда и не получил.
Более того, из раскрытых на сегодня документов Комитета по Нобелевским премиям достоверно известно, что Арнольд Зоммерфельд по числу номинаций на эту премию оказывается абсолютным чемпионом. НИКОГО из физиков и других претендентов за всю историю награды коллеги-учёные не выдвигали на эту премию больше раз, чем Зоммерфельда, в общей сложности удостоенного 84 номинаций.
И при этом Нобелевским лауреатом он так никогда и не стал…
Если учесть, что в среднем на каждого из таких лауреатов приходится около 6-7 номинаций, то становится очевидно, что Нобелевской премией Арнольда Зоммерфельда обделили наверняка не случайно. Причина столь гигантской несправедливости вряд ли станет когда-нибудь известна, ибо никаких содержательных документов на данный счёт у историков науки не имеется.
Однако, для понимания раскладов с «чемпионами» среди обделённых премией учёных полезно также обратить внимание на имена тех, кто ещё, помимо Зоммерфельда, входит в тройку НЕ-лауреатов с наибольшим числом номинаций. Второе место в этом списке занимает великий математик (и подлинный отец уравнений специальной теории относительности) Анри Пуанкаре, умерший ещё перед Первой мировой войной, но за первые 12 лет в истории Нобелевской премии получивший 51 номинацию. А третье место с 48 номинациями – у Вильгельма Бьёркнеса, отца современной научной метеорологии.
Главное отличие между нобелевскими лауреатами-создателями новой физики XX века и главными НЕ-лауреатами заключается в том, что и Бьёркнес, и Зоммерфельд, и Пуанкаре были очень сильны в классической физике вообще, а в частности, в математической физике гидродинамики. А вот все отцы новой физики XX века, начиная с Эйнштейна и юных гениев, создавших квантовую механику, в области гидродинамики, напротив, были далеко не специалисты, мягко говоря.
О том, почему именно этот нюанс оказывается здесь очень важен, подробно и с разных сторон рассказывают многие из текстов проекта kniganews. Но это, впрочем, уже совсем другая – куда более обширная – история, с деталями восстанавливаемая ныне в многосерийном научно-мистическом расследовании «Геометрия и материя разума».
[The End]
# # #
Дополнительное чтение:
О пикантных и малоизвестных подробностях в истории открытия волнового уравнения Шрёдингера : Цюрихская ересь
Подробности о математических чудесах в истории открытия релятивистского уравнения Дирака, а также о престранных событиях в науке, окружавших эту формулу впоследствии: Самый странный человек
Об удивительной и странной судьбе одного большого теоретического открытия, сделанного знаменитым учёным: Микромосты Эйнштейна-Розена и большая ложь Википедии
О главных открытиях в основах истории про столетие бесплодных блужданий науки вокруг 5-мерной физики: чудеса Теодора Калуцы, чудеса Оскара Клейна
# #
Основные источники:
Петров С В, «Ошибался ли Зоммерфельд? (К истории появления спина в релятивистских волновых уравнениях)» УФН 190 777–780 (Июль 2020)
Michael Eckert, «Arnold Sommerfeld. Science, Life and Turbulent Times. 1868-1951» (Chapter 14.4 The “Sommerfeld Puzzle”), Springer, 2013
Pauli, Wolfgang. «Sommerfelds Beiträge zur Quantentheorie». In: Die Naturwissenschaften 35 (1948), 129–132
Heisenberg, Werner. «Ausstrahlung von Sommerfelds Werk in die Gegenwart». In: Physikalische Blätter 24 (1968), 530–537
Дирак П А М, «Релятивистское волновое уравнение электрона». УФН 128 681–691 (Август 1979)
книга новостей 